ڪشش ثقل ٽرين

ڏسو real Gravity trains لاءِ، Gravity railroad.

سيرس ڪشش ثقل ٽرين جو تصور. ايسٽرائيڊ بيلٽ کي مائننگ ڪرڻ لاءِ ۽ خام مال کي مرڪزي ريفائننگ پوائنٽ ۽ لانچ پوائنٽ/اسپيس لفٽ تائين پهچائڻ لاءِ، ڪشش ثقل ٽرينون استعمال ٿي سگھن ٿيون.

ڪشش ثقل ٽرين (Gravity Train) نقل و حمل جو هڪ تصوراتي وسيلو آهي، جيڪا هڪ گولي (Sphere) جي مٿاڇري تي ٻن نقطن جي وچ ۾ ڪم ڪرڻ جي مقصد لاءِ، هڪ سڌي سرنگ جي پٺيان ٻن نقطن کي گولي جي اندرين ذريعي ڳنڍيندي.

هڪ ڪشش ثقل ٽرين، هڪ گولي جي مٿاڇري تي ٻن نقطن جي وچ ۾ ڪم ڪرڻ جي مقصد لاء ۽ نقل و حمل جو مقصد لاء، هڪ نظرياتي وسيلو آهي. اهو هڪ سڌي سرنگ جي پٺيان ٻن نقطن کي ڳنڍڻ واري دائري جي اندرين ذريعي ملائڻ سان ممڪن آهي.

هڪ وڏي جسم جهڙوڪ ڌرتيءَ ۾، هن ٽرين کي صرف ڪشش ثقل جي قوت کي استعمال ڪندي تيز ڪرڻ لاءِ ڇڏي سگهجي ٿو، ڇاڪاڻ ته سفر جي پهرئين اڌ دوران (وڏي وڃڻ واري نقطي کان وچ تائين)، هيٺاهين ڇڪ، ڪشش ثقل جي مرڪز ڏانهن، ان کي منزل طرف ڇڪيندو. سفر جي ٻئي اڌ دوران، تيز رفتار ٽريجڪٽري جي مقابلي ۾ مخالف طرف ۾ هوندو، پر، رڳڙ جي اثرن کي نظر انداز ڪندي، اڳ ۾ حاصل ڪيل رفتار هن سست رفتار تي قابو پوندي ۽ نتيجي ۾، ٽرين جي رفتار صفر تي پهچي ويندي جڏهن لڳ ڀڳ ان وقت ٽرين پنهنجي منزل تي پهتي.

تصور جي اصليت

17هين صدي عيسويءَ ۾ برطانوي سائنسدان رابرٽ هڪ آئزڪ نيوٽن کي لکيل خط ۾ ڌرتيءَ جي اندر هڪ شئي جي حرڪت (Acceleration) جو خيال پيش ڪيو. 19هين صدي عيسويءَ ۾ فرينچ اڪيڊمي آف سائنسز کي ڪشش ثقل واري ٽرين منصوبي کي سنجيدگيءَ سان پيش ڪيو ويو. ساڳيو خيال، بغير حساب جي، ليوس ڪيرول پاران 1893 ۾ سلوي ۽ برونو جي مقالي ۾ پيش ڪيو ويو. اهو خيال 1960ع جي ڏهاڪي ۾ ٻيهر دريافت ڪيو ويو جڏهن فزڪسسٽ پال ڪوپر آمريڪي جرنل آف فزڪس ۾ هڪ مقالو شايع ڪيو جنهن ۾ تجويز ڪيو ويو ته ڪشش ثقل ٽرينن کي مستقبل جي ٽرانسپورٽ منصوبي لاء نظر ۾ رکيو وڃي.

رياضياتي نقطه نظر

هڪ گولي واري ڌرتيءَ جي مفروضي تحت هڪجهڙائي واري کثافت سان ۽ لاڳاپن جي اثرن سان گڏوگڏ رگڙ کي نظر انداز ڪرڻ، ڪشش ثقل واري ٽرين ۾ هيٺيان خاصيتون آهن:

• سفر جي مدت جو دارومدار رڳو ڌرتيءَ جي کثافت ۽ ڪشش ثقل مسلسل تي هوندو، پر ڌرتيءَ جي قطر تي نه
• وڌ ۾ وڌ رفتار تريجيڪتري جي وچ واري نقطي تي پهتن تي هوندي.

انهن نقطن جي وچ ۾ ڪشش ثقل جي ٽرينن لاءِ جيڪي هڪ ٻئي جا مخالف نه هوندا آهن، هيٺيون رکو:

• هڪ هم جنس ڌرتيءَ ذريعي مختصر وقت واري سرنگ هڪ هائيپو سائڪلائيڊ آهي.

ٻن اينٽي پوڊل پوائنٽن جي خاص صورت ۾، هائيپوسائيڪلائيڊ هڪ سڌي لڪير ڏانهن خراب ٿئي ٿو.

• ڏنل ڌرتيءَ تي سموريون سڌيون ڪشش ثقل واريون ٽرينون هڪ سفر مڪمل ڪرڻ ۾ بلڪل ايترو ئي وقت وٺڻيون (يعني ان جي مٿاڇري تي ڪٿي به هجي، ان جي رفتار جا ٻه آخري نقطا ڪٿي به هجن).

ڌرتيءَ جي ڌرتيءَ تي خاص طور تي، جيئن ته ڪشش ثقل ٽرين جي حرڪت هڪ ليڪ تي تمام گهٽ ڌرتيءَ جي مدار واري سيٽلائيٽ جي حرڪت جو پروجيڪشن آهي، ان ۾ هيٺيان پيرا ميٽر آهن:

• سفر جو وقت 2530.30 سيڪنڊن جي برابر آهي (تقريبن 42.2 منٽ، هڪ لو ارٿ آربٽ سيٽلائيٽ جو اڌ عرصو)، فرض ڪيو ته ڌرتي يونيفارم کثافت جو هڪ مڪمل دائرو آهي. ڌرتيءَ جي اندر حقيقي کثافت جي ورڇ کي نظر ۾ رکندي، جيئن ابتدائي حوالن ڌرتيءَ جي ماڊل مان معلوم ٿئي ٿو، متوقع زوال جو وقت 42 کان 38 منٽن تائين گھٽجي وڃي ٿو.

ڪجهه انگن اکرن کي نظر ۾ رکڻ لاءِ، سڀ کان اونهو موجوده بور هول ڪولا سپر ڊيپ بورهول آهي، جنهن جي سچي کوٽائي 12,262 ميٽر آهي؛ لنڊن ۽ پيرس جي وچ ۾ فاصلو (350 ڪلوميٽر) کي هڪ هائيپو سائيڪلائيڊيڪل (hypocycloidical) رستي ذريعي 1,11,408 ميٽر اونهو سوراخ ٺاهڻ جي ضرورت پوندي. نه رڳو ايتري کوٽائي 9 ڀيرا وڏي آهي، پر ان لاءِ هڪ سرنگ جي به ضرورت پوندي جيڪا ڌرتيءَ جي مينٽل مان گذرندي.

رياضياتي تشڪيل

Using the approximations that the Earth is perfectly spherical and of uniform density $\rho$, and the fact that within a uniform hollow sphere there is no gravity, the gravitational acceleration $a$ experienced by a body within the Earth is proportional to the ratio of the distance from the center $r$ to the Earth's radius $R$. This is because underground at distance $r$ from the center is like being on the surface of a planet of radius $r$, within a hollow sphere which contributes nothing.

$a={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {G\rho V}{r^{2}}}={\frac {G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r^{3}}{r^{2}}}=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,r$

On the surface, $r=R$, so the gravitational acceleration is $g=G\rho {\frac {4}{3}}\pi \,R$. Hence, the gravitational acceleration at $r$ is

$a={\frac {r}{R}}\,g$

Diametric path to antipodes

In the case of a straight line through the center of the Earth, the acceleration of the body is equal to that of gravity: it is falling freely straight down. We start falling at the surface, so at time $t$ (treating acceleration and velocity as positive downwards):

$r_{t}=R-\int _{0}^{t}v_{t}\,dt=R-\int _{0}^{t}\int _{0}^{t}a_{t}\,dt\,dt$

Differentiating twice:

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=-a_{t}=-{\frac {r}{R}}\,g=-\omega ^{2}\,r$

where $\omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}$. This class of problems, where there is a restoring force proportional to the displacement away from zero, has general solutions of the form $r=k\cos(\omega t+\varphi )$, and describes simple harmonic motion such as in a spring or pendulum.

In this case $r_{t}=R\cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t$ so that $r_{0}=R$, we begin at the surface at time zero, and oscillate back and forth forever.

The travel time to the antipodes is half of one cycle of this oscillator, that is the time for the argument to $\cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t$ to sweep out ${\pi }$ radians. Using simple approximations of $g=10{\text{ m}}/{\text{s}}^{2},R=6500{\text{ km}}$ that time is

$T={\frac {\pi }{\omega }}={\frac {\pi }{\sqrt {\frac {g}{R}}}}\approx {\frac {3.1415926}{\sqrt {\frac {10}{6500000}}}}\approx 2532{\text{ s}}$

Straight path between two arbitrary points

Path of gravity train

For the more general case of the straight line path between any two points on the surface of a sphere we calculate the acceleration of the body as it moves frictionlessly along its straight path.

The body travels along AOB, O being the midpoint of the path, and the closest point to the center of the Earth on this path. At distance $r$ along this path, the force of gravity depends on distance $x$ to the center of the Earth as above. Using the shorthand $b=R\sin \theta$ for length OC:

$g_{r}={\frac {x}{R}}\,g={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g$

The resulting acceleration on the body, because is it on a frictionless inclined surface, is $g_{r}\cos \varphi$:

Diagram of forces on a gravity train on non-diametrical straight line path

$a_{r}=g_{r}\cos \varphi ={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g\cos \varphi$

But $\cos \varphi$ is $r/x={\frac {r}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}$, so substituting:

$a_{r}={\frac {\sqrt {r^{2}+b^{2}}}{R}}\,g\,{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+b^{2}}}}={\frac {r}{R}}\,g$

which is exactly the same for this new $r$, distance along AOB away from O, as for the $r$ in the diametric case along ACD. So the remaining analysis is the same, accommodating the initial condition that the maximal $r$ is $R\cos \theta =AO$ the complete equation of motion is

$r_{t}=R\cos \theta \cos {\sqrt {\frac {g}{R}}}\,t$

The time constant $\omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}$ is the same as in the diametric case so the journey time is still 42 minutes; it's just that all the distances and speeds are scaled by the constant $\cos \theta$.

Dependence on radius of planet

The time constant $\omega$ depends only on ${\frac {g}{R}}$ so if we expand that we get

${\frac {g}{R}}={\frac {GM/R^{2}}{R}}={\frac {GM}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,V}{R^{3}}}={\frac {G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi \,R^{3}}{R^{3}}}=G\rho \,{\frac {4}{3}}\pi$

which depends only on the gravitational constant and $\rho$ the density of the planet. The size of the planet is immaterial; the journey time is the same if the density is the same.

افسانوي ادب ۾

سال 2012ع جي فلم ”ٽوٽل ريڪال“ ۾ ”دي فال“ نالي هڪ ڪشش ثقل واري ٽرين ڌرتيءَ جي مرڪز مان گذرندي مغربي يورپ ۽ آسٽريليا جي وچ ۾ سفر ڪري ٿي.

پڻ ڏسو

• هائپر لوپ
• ڪشش ثقل ٽريڪٽر
• خلائي لفٽ

خارجي لنڪس

• A simulation of this motion; includes tunnels that do not pass through the center of the earth. Also shows a satellite with same period.
• The Gravity Express
• To Everywhere in 42 Minutes