آلجبرا

الجبرا الخوارزمي جي ڪتاب "الجبر و المقابله" جي نالي مان ورتل آھي

الجبرا (انگريزي: Algebra؛ عربي: الجبر، ٽٽل حصن جو ٻيھر جوڙ) علم رياضيات جي ھڪ شاخ جو نالو آهي، جيڪا انگن (Numbers) جي عام خاصيتن سان تعلق رکي ٿي. انگن جي خاصيتن مان پيدا ٿيندڙ انھن جي عام حيثيت کي الجبرا سڏيو ويندو آهي. الجبرائي حسابن ۾ عام انگن کي اڪثر علامتن سان ظاھر ڪيو ويندو آهي، ھن ڪري اھا انگي حسابن (Arithmetic) کان مختلف ھوندا آھن. مثال طور: ھيا مساوات انگي حساب جي عبارت آهي.

(5 + 7) •2 = 2•5 + 2•7
پر ھيٺ ڏنل ھڪ ٻي مساوات وري انگن جون ٽي مختلف خاصيتن کي علامتن ذريعي ظاهر ڪري ٿي تنھنڪري اھا مساوات ھڪ الجبرائي عبارت آهي.

x•y + x•z = x•(y + z)
لفظ الجبرا عربي جو لفظ آهي جيڪو فارسي نسل جي مشھور رياضي دان محمد بن موسیٰ الخوارزمي (780ع- 850ع) جي ڪتاب جي نالي "الجبر و المقابله" (بحالي ۽ تڪرار) مان ورتل آهي. الجبرائي حسابن کي آسان طريقي سان سمجھڻ لاء ھڪ سادو مثال ڏجي ٿو ته: عام انگي حسابن ۾ 9=4+3+2 ھوندو آھي. پر الجبرا جي حسابن ۾ 9=2a+3b+4c وانگر لکبو آھي جنھن ۾ a, b, c ڦرڻا (Variables) آھن، جيڪي ڪنھن نہ ڪنھن شئي جي بدران علامتي طور تي لکيا ويندا آھن. جئين ته ڪيلو=a، صوف=b ۽ نارنگي=c ھجي تہ هنن جي مجموعي کي ان الجبرائي عبارت ۾ ھن طرح لکبو آھي: 4c+3b+2a (2 ڪيلا، 3 صوف ۽ 4 نارنگيون)

جديد دؤر ۾ الجبرا جو علم وڌي يارھن قسمن جو ٿي چڪو آهي جن م ايبسٽريڪٽ الجبرا؛ ماڊيولر رياضي جي صورت ۾ متبادل انگي نظام جو مطالعو ۽ ان جي گروپ ٿيوري، منطقي نتيجن واري بوليئن الجبرا، ميٽرڪس الجبرا ۽ ويڪٽر الجبرا شامل آهن.

تاريخ

الجبرائي حسابن جو ذڪر تاريخ ۾ قديم مصر ۽ بابل جي تھذيبن سميت قديم يوناني علم رياضي تائين ملي ٿو. مصري ۽ بابلي تھذيبن جي علم جو وڏو حصو يونان منتقل ٿيو، جتي يونانين الجبرا کي نوان رخ ڏنا، جن ۾ انھن الجبرائي مسئلن کي جاميٽري ذريعي ڏسڻ شروع ڪيو. تحقيق کان پوءِ اهو معلوم ٿيو آهي ته ٽي سئو سال قبل مسيح جي زماني ۾ اقليدس ۽ اسڪندريه جي مدرسي جا ڪجهه فرد الجبرا کان واقف هئا. تحقيقات جي بنياد تي اهو چئي سگهجي ٿو ته، "ٻه هزار سال قبل مسيح جي زماني کان رياضي دانن کي الجبرا جو علم هو. سڀ کان قديم رسالو جنهن ۾ هڪ الجبرائي مسئلو درج آهي جو نالو اهميس پاپائرس (Ahmes Papyrus) آهي، جيڪو تقريباً 1600-1700 قبل مسيح ۾ لکيو ويو. قديم يونان جي علم رياضيات ۾ ڪجهه الجبرائي حساب يا مسئلا 1650 ق.م جي رھنڊ پپائرس (Rhind papyrus) تي لکيل مليا آھن، جنھن ۾ لکيل ھڪ مسئلو ھيٺ ڏجي ٿو:

جيڪڏهن ڪنھن شئي جي ملھ ۾ ان جو چوٿون حصو جوڙ ڪرڻ سان اھو وڌي 15 ٿئي تہ ان شئي جو اصل ملھ ڪيترو آھي.؟

— 1650ق.م ۾ يوناني رياضي، رھنڊ پپائرس

يوناني رياضي دان دراصل جاميٽريءَ جا عالم هئا ۽ ٽين صدي قبل مسيح جي وچ جو ديو فنطاس سڀ کان پهريون رياضي دان هو جنهن الجبرا تي تقريباً 275 ق. م ۾ هڪ ڪتاب تصنيف ڪيو. بابل ۽ يوناني اسڪولن جي خيالن قديم ھندوستان کي پڻ متاثر ڪيو ۽ اتي بہ علم رياضي جي ترقي ٿيڻ شروع ٿي.هندستان ۾ رياضي دانن ۾ برھما گپتا (پيدائش 598ع وفات 665ع)(628ع) جنھن ٻيو مول وارين مساواتن کي حل ڪيو، منفي انگن کي سمجھيو ۽ ٻڙي کي انگي خاصيت واري استعمال ۾ آندو ، مهـاويــرا (850ع) ۽ ڀاسڪرا (1150ع) (1114ع-1185ع) جنھن ٻڌايو تہ ھر مثبت انگ جا ٻہ ٻيا مول (square roots) ٿيندا آهن ۽ منفي عدد جو ٻيومول نہ ٿيندو آهي. انھن جي تصنيفن ۾ گهڻي تعداد ۾ اهڙا علمي سوال موجود آهن جيڪي الجبرائي طريقي سان حل ڪيا ويا آهن. اسلامي دنيا ۽ خاص طور تي بغداد ۾ خليفن جي زماني ۾ يونان ۽ هندستان جي عالمن جون رياضي بابت ڪاوشون گڏ ٿيون ۽ نتيجي طور الجبرا جي علم تي (588ع) ۾ محمد بن موسيٰ الخوارزمي ڪتاب لکيو ۽ 1100ع ۾ ”الڪرخي“ جا درسي ڪتاب مرتب ڪيا ويا. جديد الجبرا ڏي ھڪ اھم قدم 825ع ۾ بغداد ۾ کنيو ويو جڏهن ھڪ عرب رياضيدان محمد ابن موسیٰ الخوارزمي (780-850) مشھور ڪتاب حساب الجبر والمقابلا (Calculation by restoration and reduction) لکيو جنھن م پھريون دفعو واضع ۽ جامع طريقي سان الجبرائي مساواتن جي حل ڪرڻ جا طريقا ڏنا ويا. محمد بن موسيٰ الخوارزمي جي الجبرا جو يورپي رياضيات تي تمام گهڻو اثر پيو. الخوارزمي جي ان ڪتاب جو ھڪ اطالوي رياضيدان فبناچي (Fibonacci) (1175-1250) لاطيني ٻولي م ترجمو ڪيو. سنڌ ۾ پڻ رياضيءَ جي علم جا اهڃاڻ موهن جي دڙي مان انگن جي نظام جي صورت ۾ مليا آهن. انگريزن جي دور ۾ سنڌيءَ ۾ آلجبرا جا ڪتاب ڇپيا جيئن ”جبر ۽ مقابلو“ 1859ع ۾ ڇپيو جيڪو ديوان ننديرام جي پٽ ٿڌي مل ميراڻيءَ ترجمو ڪيو هو.

قديم مصر جو رائنڊ رياضياتي پاپائرس، جيڪو لڳ ڀڳ ت. 1650 ق.م جو آهي، الجبرائي مسئلن تي بحث ڪندڙ سڀ کان اوائلي دستاويزن مان هڪ آهي.

الجبرا جي ابتدا اهڙن رياضياتي مسئلن کي حل ڪرڻ جي ڪوششن مان ٿي، جن ۾ حسابي ڳڻپون ۽ اڻڄاتل مقدار شامل هئا. اهي واڌارا قديم دور ۾ بابليا، مصر، يونان، چين ۽ هندستان ۾ ٿيا. الجبرائي مسئلن بابت سڀ کان اوائلي دستاويزن مان هڪ قديم مصر جو رائنڊ رياضياتي پاپائرس آهي، جيڪو لڳ ڀڳ 1650 ق.م ۾ لکيو ويو هو. ان ۾ ليڪي مساواتن جا حل اهڙن مسئلن جي صورت ۾ بيان ٿيل آهن، جهڙوڪ: ”هڪ مقدار آهي؛ ان جو چوٿون حصو ان ۾ شامل ڪيو وڃي ٿو. نتيجو پندرهن ٿئي ٿو. اها مقدار ڪيتري آهي؟“ لڳ ڀڳ ساڳئي دور جون بابلي مٽيءَ جون تختيون ليڪي ۽ تربيعي پولي نوميل مساواتن کي حل ڪرڻ جا طريقا بيان ڪن ٿيون، جهڙوڪ مربع مڪمل ڪرڻ جو طريقو.

انهن مان گهڻيون ڄاڻون قديم يونانين تائين پڻ پهتيون. ڇهين صدي ق.م کان سندن بنيادي دلچسپي الجبرا بدران هندسي ۾ هئي، پر اهي هندسي مسئلا حل ڪرڻ لاءِ الجبرائي طريقا استعمال ڪندا هئا. مثال طور، اهي هندسي شڪلين جو مطالعو ڪندي انهن جي ڊيگهن ۽ ايراضين کي اڻڄاتل مقدار سمجهندا هئا، جن کي معلوم ڪرڻو هوندو هو؛ ان جو مثال فيثاغورس پاران ٻن مربعن جي فرق واري طريقي جي تشڪيل ۽ پوءِ اقلیدس جي عنصرن ۾ ملي ٿو. ٽين صدي عيسويءَ ۾ ڊيوفانٽس ارٿميٽيڪا نالي ڪتابن جي هڪ سلسلي ۾ الجبرائي مساواتن کي حل ڪرڻ بابت تفصيلي بيان ڏنو. هو پولي نوميلن کي ظاهر ڪرڻ لاءِ علامتي لکڻيءَ سان تجربو ڪندڙ پهريون شخص هو. ڊيوفانٽس جي ڪم عرب دنيا ۾ الجبرا جي ترقيءَ تي اثر وڌو، ۽ سندس ڪيترائي طريقا وچئين دور جي عربي الجبرا ۾ استعمال ٿيندڙ تصورن ۽ ٽيڪنيڪن ۾ ظاهر ٿين ٿا. قديم چين ۾ رياضياتي فن بابت نَو باب، جيڪو ڏهين صدي ق.م کان ٻي صدي عيسويءَ تائين واري عرصي دوران ترتيب ڏنو ويو، الجبرائي مساواتن کي حل ڪرڻ جون مختلف ٽيڪنيڪون بيان ڪيون، جن ۾ ميٽرڪس جهڙين بناوتن جو استعمال پڻ شامل هو.

سوويت ٽپال ٽڪيٽ تي ٻڌل الخوارزمي جي هڪ تصوراتي تصوير.

ان ڳالهه بابت اختلاف آهي ته اهي شروعاتي واڌارا الجبرا جو حصو هئا يا رڳو ان جا اڳواٽ بنياد. انهن الجبرائي مسئلن جا حل ته ڏنا، پر انهن کي تجريدي ۽ عام انداز ۾ نه سمجهيو، بلڪه خاص حالتن ۽ استعمالن تي ڌيان ڏنو. اهو رخ فارسي رياضي دان الخوارزمي سان تبديل ٿيو، جنهن 825ع ۾ پنهنجو ڪتاب الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة شايع ڪيو. الخوارزمي مساواتن کي ڇهن معياري صورتن ۾ ورهائي انهن کي حل ڪرڻ جو پهريون تحليلي نظريو پيش ڪيو، ۽ انهن جي حل لاءِ منظم، مرحليوار طريقا ڏنا. انهن طريقن کي مخصوص هندسي شڪلين کان الڳ ڪري ۽ اڻڄاتل مقدارن کي عام الجبرائي شين طور ورتائين، جنهن سان هن هڪ باقاعده عملي فريم ورڪ قائم ڪيو. جدا جدا مسئلن کي حل ڪرڻ کان هڪ عام طريقيڪار ٺاهڻ ڏانهن هن منتقلي الجبرا کي هڪ آزاد علمي شعبي ۾ بدلائي ڇڏيو. الجبرا ۾ ٻيون اثرائتيون ڀاڱيداريون نائين صديءَ جي عرب رياضي دان ثابت بن قره ۽ يارهين ۽ ٻارهين صديءَ جي فارسي رياضي دان عمر خيام ڪيون.

هندستان ۾ برهمگپت ستين صدي عيسويءَ ۾ تربيعي مساواتن ۽ گهڻن متغيرن وارن مساواتي نظامن کي حل ڪرڻ جي تحقيق ڪئي. سندس جدتن ۾ الجبرائي مساواتن اندر صفر ۽ منفي انگن جو استعمال شامل هو. نائين صديءَ جي هندستاني رياضي دان مهاوير ۽ ٻارهين صديءَ جي ڀاسڪرا ٻئي برهمگپت جي طريقن ۽ تصورن کي وڌيڪ سڌاريو. 1247ع ۾ چيني رياضي دان چِن جيوشائو نَو ڀاڱن ۾ رياضياتي رسالو لکيو، جنهن ۾ هڪ الگورٿم شامل آهي، جيڪو مٿانهين درجن سميت پولي نوميلن جي عددي قيمت ڪڍڻ لاءِ استعمال ٿيندو آهي.

فرانسوا وييت (کاٻي پاسي) ۽ ريني ڊيڪارٽ مساواتن کي تجريدي ۽ مختصر صورت ۾ ظاهر ڪرڻ لاءِ علامتي لکڻي ايجاد ڪئي.

اطالوي رياضي دان فيبوناچي الخوارزمي جي خيالن ۽ طريقن کي پنهنجي ڪتابن، جن ۾ ليبر اباچي پڻ شامل هو، وسيلي يورپ آندو. 1545ع ۾ اطالوي گهڻ رخو عالم جيرولامو ڪارڊانو پنهنجو ڪتاب آرس ميگنا شايع ڪيو، جنهن ۾ الجبرا جي ڪيترن موضوعن، خيالي عددن، ۽ ٽئين ۽ چوٿين درجي جي مساواتن کي حل ڪرڻ جي عام طريقن جو پهريون بيان شامل هو. سورهين ۽ سترهين صديءَ ۾ فرانسيسي رياضي دانن فرانسوا وييت ۽ ريني ڊيڪارٽ متغيرن ۽ عملن کي ظاهر ڪرڻ لاءِ اکر ۽ علامتون متعارف ڪرايون، جنهن سان مساواتن کي مختصر ۽ تجريدي صورت ۾ لکڻ ممڪن ٿيو. سندن اڳوڻا مسئلن ۽ حلن جي لفظي وضاحتن تي ڀاڙيندا هئا. ڪجهه مؤرخ هن واڌاري کي الجبرا جي تاريخ جو هڪ اهم موڙ سمجهن ٿا، ۽ ان کان اڳ واري دور کي الجبرا جي اڳ-تاريخ قرار ڏين ٿا، ڇاڪاڻ⁠تہ ان ۾ علامتي ڦيرڦار تي ٻڌل تجريدي نوعيت موجود نه هئي.

سترهين ۽ ارڙهين صديءَ ۾ پنجين ۽ ان کان وڌيڪ درجي جي پولي نوميلن جا عام حل ڳولڻ لاءِ گهڻيون ڪوششون ڪيون ويون، پر اهي سڀ ناڪام ٿيون. ارڙهين صديءَ جي آخر ۾ جرمن رياضي دان ڪارل فريڊرڪ گائوس الجبرا جو بنيادي نظريو ثابت ڪيو، جيڪو ڪنهن عام حل جي طريقي کان سواءِ هر درجي جي پولي نوميلن جي صفرن جي موجودگي بيان ڪري ٿو. اوڻيهين صديءَ جي شروعات ۾ اطالوي رياضي دان پائولو روفيني ۽ نارويجي رياضي دان نيلس هينرڪ ايبل اهو ڏيکارڻ ۾ ڪامياب ٿيا ته پنجين ۽ وڌيڪ درجي جي پولي نوميلن لاءِ ڪو عام حل موجود ناهي. سندن نتيجن جي ردعمل ۾ ۽ ٿوري ئي عرصي کان پوءِ فرانسيسي رياضي دان اواريسٽ گالوا اهو نظريو تيار ڪيو، جيڪو پوءِ گالوا نظريو سڏيو ويو. هن پولي نوميلن جي حلن جو وڌيڪ گهرو تجزيو پيش ڪرڻ سان گڏ گروهه جي نظريي جا بنياد پڻ وڌا. رياضي دانن جلد ئي ٻين شعبن لاءِ گروهه جي نظريي جي اهميت کي سمجهي ورتو ۽ ان کي هندسي ۽ عددن جي نظريي جهڙن شعبن ۾ لاڳو ڪيو.

گيريٽ برڪهوف عالمي الجبرا جا ڪيترائي بنيادي تصور تيار ڪيا.

اوڻيهين صديءَ جي وچ کان الجبرا ۾ دلچسپي ابتدائي الجبرا سان لاڳاپيل پولي نوميلن جي مطالعي کان هٽي الجبرائي ڍانچن جي وڌيڪ عام تحقيق ڏانهن منتقل ٿي، جنهن سان مجرد الجبرا جو ظهور ٿيو. هن طريقي ۾ ڪنهن به الجبرائي عمل جي مسلماتي بنيادن جو مطالعو ڪيو ويو. مختلف عملن ۽ عنصرن تي ٻڌل نون الجبرائي نظامن جي ايجاد به هن ترقيءَ سان گڏ ٿي، جهڙوڪ بولين الجبرا، سمتي الجبرا ۽ ميٽرڪس الجبرا. مجرد الجبرا جي شروعاتي اثرائتين واڌارن ۾ جرمن رياضي دانن ڊيوڊ هلبرٽ، ارنسٽ شٽائنٽس ۽ ايمي نوئتر، ۽ آسٽريائي رياضي دان ايميل آرٽن جون ڀاڱيداريون شامل هيون. انهن الجبرائي ڍانچن جي مختلف صورتن جي تحقيق ڪئي ۽ انهن کي سندن بنيادي مسلمن جي بنياد تي گروهن، رنگن ۽ ميدانن جهڙن قسمن ۾ ورهايو.

عالمي الجبرا سان لاڳاپيل اڃا وڌيڪ عام طريقي جو خيال انگريز رياضي دان الفريڊ نارٿ وائيٽ هيڊ پنهنجي 1898ع واري ڪتاب عالمي الجبرا بابت رسالو ۾ پيش ڪيو. 1930ع واري ڏهاڪي کان آمريڪي رياضي دان گيريٽ برڪهوف انهن خيالن کي وڌيڪ وڌايو ۽ هن شعبي جا ڪيترائي بنيادي تصور تيار ڪيا. عالمي الجبرا جي ايجاد سان رياضيات جي الجبرائيت تي ڌيان ڏيندڙ ڪيترائي نوان شعبا پيدا ٿيا—يعني رياضيات جي ٻين شاخن تي الجبرائي طريقن جو استعمال. ويهين صديءَ جي شروعات ۾ ٽوپولاجيڪل الجبرا وجود ۾ آئي، جيڪا ٽوپولاجيڪل گروهه ۽ لي گروهه جهڙن الجبرائي ڍانچن جو مطالعو ڪري ٿي. 1940ع ۽ 1950ع وارن ڏهاڪن ۾ هومولوجيڪل الجبرا ظاهر ٿي، جنهن هومولوجي جي مطالعي لاءِ الجبرائي ٽيڪنيڪون استعمال ڪيون. لڳ ڀڳ ساڳئي وقت درجا بندي جو نظريو پڻ تيار ٿيو، جيڪو پوءِ کان رياضيات جي بنيادن ۾ اهم ڪردار ادا ڪندو رهيو آهي. ٻين واڌارن ۾ ماڊل جو نظريو جي تشڪيل ۽ آزاد الجبرائن جو مطالعو شامل هو.

وصف ۽ اشتقاق

الجبرا رياضيات جي اها شاخ آهي جيڪا الجبرائي ڍانچون ۽ انهن ۾ استعمال ٿيندڙ الجبرائي عملن جو اڀياس ڪري ٿي. الجبرائي ڍانچو مجموعي (Set) جو هڪ غير خالي مجموعو هوندو آهي، جنهن ۾ رياضياتي شئيون، جهڙوڪ عدد صحيح، شامل هونديون آهن، ۽ انهن تي الجبرائي عمل، جهڙوڪ جمع ۽ ضرب، لاڳو ڪيا ويندا آهن.</ref> الجبرا انهن ڍانچن جي قانونن، عام خاصيتن ۽ قسمن جو جائزو وٺي ٿي. مخصوص الجبرائي ڍانچن ۾ اها متغيرن کي الجبرائي مساواتن ۾ استعمال ڪرڻ ۽ انهن مساواتن کي حل يا ترتيب ڏيڻ جا طريقا پڻ بيان ڪري ٿي.

الجبرا کي گهڻو ڪري حساب جي هڪ عام صورت يا واڌارو سمجهيو ويندو آهي. حساب مخصوص عددي نظام، جهڙوڪ حقيقي انگن، ۾ جمع، تفريق، ضرب ۽ ورهاست جهڙن عملن جو اڀياس ڪري ٿو. ابتدائي الجبرا تجريد (ايبسٽريڪش ) جي پهرين سطح آهي. اها پڻ مخصوص قسمن جي انگن ۽ عملن تائين محدود هوندي آهي، پر انهن عملن کي متغيرن جي استعمال سان وڌيڪ عام بڻائي ٿي، جنهن سان اڻڄاتل مقدار پڻ ظاهر ڪري سگهجن ٿا.

تجريد جي وڌيڪ اعليٰ سطح مجرد الجبرا ۾ ملي ٿي، جيڪا ڪنهن هڪ عددي نظام تائين محدود نه هوندي، بلڪه گروهه، رنگ ۽ ٻين الجبرائي ڍانچن جو مطالعو ڪري ٿي. اها روايتي حسابي عملن کان اڳتي وڌي ٻين قسمن جي عملن کي پڻ شامل ڪري ٿي. ان کان به وڌيڪ تجريدي شاخ عالمي الجبرا (يونيورسل الجبرا) آهي، جيڪا مخصوص الجبرائي ڍانچن بدران الجبرائي ڍانچن جي عام خاصيتن ۽ اصولن جو مطالعو ڪري ٿي.

لفظ الجبرا محمد بن موسى الخوارزمي جي ڪتاب الجبر جي عنوان مان نڪتل آهي.

ڪڏهن ڪڏهن الجبرا جو لفظ وڌيڪ محدود معنيٰ ۾ صرف ابتدائي الجبرا يا صرف مجرد الجبرا لاءِ به استعمال ٿيندو آهي. جڏهن "الجبرا" کي قابلِ شمار اسم (countable noun) طور استعمال ڪيو وڃي، ته ان مان مراد ميدان مٿان الجبرا (الجبرا اوور فيلڊ) نالي هڪ مخصوص الجبرائي ڍانچو هوندو آهي، جنهن ۾ هڪ سمتي جڳهه (ويڪٽر اسپيس) ۽ هڪ خاص قسم جو ٻٽو خطي نقشو (بائلينئر ميپ) شامل هوندو آهي. حوالي جي لحاظ کان "الجبرا" ٻين الجبرائي ڍانچن، جهڙوڪ لي الجبرا يا اسوسيئيٽو الجبرا، لاءِ پڻ استعمال ٿي سگهي ٿو.

لفظ الجبرا عربي لفظ آهي، جنهن جي اصل معنيٰ هڏن کي صحيح نموني ويهارڻ جي جراحي عمل سان لاڳاپيل هئي. نائين صديءَ ۾ فارسي رياضي دان محمد بن موسى الخوارزمي هن لفظ کي مساواتن جي هڪ خاص تبديليءَ واري طريقي لاءِ استعمال ڪيو ۽ پنهنجي مشهور ڪتاب الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة}} (حساب الجبر ۽ مقابلي بابت مختصر ڪتاب) جي عنوان ۾ شامل ڪيو. هن ڪتاب جو لاطيني ترجمو ليبَر اَلجِبراءِ اِٽ اَلمُوڪابولا جي نالي سان ڪيو ويو.</ref>

هي لفظ سورهين صديءَ ۾ اطالوي، اسپيني ۽ وچئين دور جي لاطيني ٻولين وسيلي انگريزيءَ ۾ داخل ٿيو. شروعات ۾ ان جي معنيٰ صرف مساواتن جو نظريو هئي، يعني پولي نوميل مساواتن کي حل ڪرڻ لاءِ انهن جي ترتيب ۽ تبديليءَ جو فن. اوڻيهين صديءَ ۾ الجبرا جو دائرو تمام گهڻو وسيع ٿيو، ۽ ان ۾ مختلف الجبرائي عملن، الجبرائي ڍانچن، انهن جي بنيادي مسلمن ۽ انهن تي لاڳو ٿيندڙ قانونن جو مطالعو پڻ شامل ٿي ويو.

اهم شاخون

ابتدائي الجبرا

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو ابتدائي الجبرا

الجبرائي اظهار جي علامت نگاري:
  1 – قوت (اس)
  2 – عددي ضريب
  3 – حد
  4 – عملگر
  5 – مستقل حد
  $c$ – مستقل
  $x$ $y$ – متغير

ابتدائي الجبرا، جنهن کي اسڪولي الجبرا، ڪاليج الجبرا ۽ روايتي الجبرا پڻ چيو ويندو آهي، الجبرا جي سڀ کان پراڻي ۽ بنيادي صورت آهي. اها حساب جي هڪ عام صورت آهي، جيڪا متغيرن تي ڀاڙي ٿي ۽ اهو جائزو وٺي ٿي ته رياضيائي بيانن کي ڪيئن تبديل ڪري سگهجي ٿو.

حساب عددي عملن جو مطالعو آهي، جيڪو اهو ڏسي ٿو ته انگن کي جمع، تفريق، ضرب، ورهاست، اسي عمل (ايڪسپو نينشيئيشن)، جذر ڪڍڻ ۽ لوگارٿم ذريعي ڪيئن گڏايو ۽ تبديل ڪيو وڃي ٿو. مثال طور، جمع جو عمل ٻن انگن (جن کي جمع ٿيندڙ انگ چيو وڃي ٿو) کي گڏ ڪري ٽيون انگ، يعني مجموعو، پيدا ڪري ٿو، جيئن $2+5=7$.

ابتدائي الجبرا ساڳين عددي عملن تي ٻڌل هوندي آهي، پر ان ۾ عام انگن سان گڏ متغير پڻ استعمال ٿيندا آهن. متغير اهڙيون علامتون آهن، جيڪي اڻڄاتل يا غير متعين مقدارن جي نمائندگي ڪن ٿيون. انهن جي ذريعي اهڙا لاڳاپا بيان ڪري سگهجن ٿا، جن جون صحيح عددي قيمتون معلوم نه هجن، ۽ اهڙا عام قانون به ظاهر ڪري سگهجن ٿا، جيڪي استعمال ٿيندڙ انگن کان آزاد هجن. مثال طور، مساوات $2\times 3=3\times 2$ حساب سان واسطو رکي ٿي ۽ رڳو انهن خاص انگن لاءِ صحيح آهي. پر انهن انگن جي جاءِ تي متغير رکڻ سان هڪ عام قانون بيان ڪري سگهجي ٿو، جيڪو سڀني انگن لاءِ درست آهي، جهڙوڪ ضرب جي تبادلي واري خاصيت، جيڪا $a\times b=b\times a$ سان ظاهر ڪئي وڃي ٿي.

الجبرائي اظهار عددي عملن ذريعي متغيرن ۽ انگن کي گڏائي ٺاهيا ويندا آهن. روايت موجب ننڍا اکر ⁠$x$⁠، ⁠$y$⁠ ۽ $z$ متغيرن لاءِ استعمال ٿيندا آهن. ڪڏهن ڪڏهن مختلف متغيرن ۾ فرق ڪرڻ لاءِ هيٺيون اشاري (subscripts) پڻ شامل ڪيا ويندا آهن، جيئن ⁠$x_{1}$⁠، ⁠$x_{2}$⁠ ۽ ⁠$x_{3}$⁠. ننڍا اکر ⁠$a$⁠، ⁠$b$⁠ ۽ $c$ عام طور مستقل ۽ عددي ضريب ظاهر ڪرڻ لاءِ استعمال ٿيندا آهن. مثال طور $5x+3$ هڪ الجبرائي اظهار آهي، جيڪو عدد 5 کي متغير $x$ سان ضرب ڪري پوءِ نتيجي ۾ 3 شامل ڪرڻ سان ٺهندو آهي. ٻين مثالن ۾ $32xyz$ ۽ $64x_{1}{}^{2}+7x_{2}-c$ شامل آهن.}}

ڪي الجبرائي اظهار اهڙي صورت ۾ هوندا آهن، جيڪي ٻن اظهارن جي وچ ۾ لاڳاپو بيان ڪن ٿا. مساوات اهڙو بيان آهي، جيڪو ٻن اظهارن جو مقابلو ڪري ٻڌائي ٿو ته اهي برابر آهن. اهو برابري جي نشاني (⁠$=$⁠) ذريعي ظاهر ڪيو ويندو آهي، جيئن ⁠$5x^{2}+6x=3y+4$⁠. نامساوات (Inequation) ۾ ٻئي قسم جو مقابلو ڪيو ويندو آهي، جنهن ۾ ٻڌايو ويندو آهي ته ٻئي پاسا هڪجهڙا نه آهن. اهو ننڍو هجڻ جي نشاني (⁠$<$⁠)، وڏو هجڻ جي نشاني (⁠$>$⁠) ۽ نامساوات جي نشاني (⁠$\neq$⁠) جهڙين علامتن سان ظاهر ڪيو ويندو آهي. ٻين اظهارن جي ابتڙ، بيان سچا يا ڪوڙا ٿي سگهن ٿا، ۽ انهن جي صدق قيمت (truth value) عام طور متغيرن جي قدرن تي دارومدار رکندي آهي. مثال طور، بيان $x^{2}=4$ تڏهن سچو هوندو جڏهن $x$ جي قيمت 2 يا −2 هجي، ۽ ٻين سڀني حالتن ۾ اهو ڪوڙو هوندو. متغيرن وارين مساواتن کي ٻن قسمن ۾ ورهايو ويندو آهي: سڃاڻپ مساواتون (identity equations) ۽ شرطي مساواتون (conditional equations). سڃاڻپ مساواتون متغيرن جي هر ممڪن قيمت لاءِ صحيح هونديون آهن، جيئن ⁠$2x+5x=7x$⁠. جڏهن ته شرطي مساواتون رڳو ڪجهه خاص قدرن لاءِ صحيح ٿينديون آهن. مثال طور، مساوات $x+4=9$ فقط تڏهن صحيح آهي جڏهن $x=5$ هجي.

ابتدائي الجبرا جو بنيادي مقصد انهن قدرن کي معلوم ڪرڻ آهي، جن لاءِ ڪو بيان صحيح ٿئي. اهو مخصوص قاعدن موجب بيانن کي تبديل ڪرڻ ۽ انهن تي عمل ڪرڻ سان حاصل ڪيو ويندو آهي. هن عمل جو بنيادي اصول اهو آهي ته مساوات جي هڪ پاسي تي جيڪو به عمل ڪيو وڃي، ساڳيو عمل ٻئي پاسي تي به ڪرڻ ضروري هوندو آهي. مثال طور، جيڪڏهن مساوات جي کاٻي پاسي مان 5 گهٽايو وڃي ته ساڄي پاسي مان به 5 گهٽائڻو پوندو، جيئن ٻنهي پاسن ۾ برابري برقرار رهي. انهن مرحلن جو مقصد اڪثر ڪنهن هڪ متغير کي مساوات جي هڪ پاسي اڪيلو ڪرڻ هوندو آهي، جنهن کي ان متغير جي لحاظ کان مساوات حل ڪرڻ چيو ويندو آهي. مثال طور، مساوات $x-7=4$ کي $x$ لاءِ حل ڪرڻ خاطر ٻنهي پاسن ۾ 7 شامل ڪيو ويندو، جنهن سان $x$ کاٻي پاسي اڪيلو رهجي ويندو ۽ نتيجي ۾ ⁠$x=11$⁠ حاصل ٿيندو.

مساواتن کي حل ڪرڻ لاءِ ٻيون به ڪيتريون ئي ٽيڪنيڪون استعمال ڪيون وينديون آهن. سادو ڪرڻ (simplification) وسيلي ڪنهن پيچيده اظهار کي ان جي برابر، پر وڌيڪ سادي اظهار سان مٽايو ويندو آهي. مثال طور، اظهار $7x-3x$ کي $4x$ سان مٽائي سگهجي ٿو، ڇاڪاڻ ته تقسيمي خاصيت (distributive property) موجب $7x-3x=(7-3)x=4x$ آهي. ڪيترن متغيرن وارن بيانن ۾ متبادل (substitution) هڪ عام طريقو آهي، جنهن ۾ هڪ متغير جي جاءِ تي ان جي برابر اهڙو اظهار رکيو ويندو آهي، جنهن ۾ اهو متغير موجود نه هجي. مثال طور، جيڪڏهن معلوم هجي ته $y=3x$، ته اظهار $7xy$ کي سادو ڪري ⁠$21x^{2}$⁠ حاصل ڪري سگهجي ٿو. ساڳيءَ طرح، جيڪڏهن هڪ متغير جي قيمت معلوم هجي ته ان جي مدد سان ٻين متغيرن جون قيمتون به معلوم ڪري سگهجن ٿيون.

الجبرائي مساواتن جي مدد سان هندسي شڪلين کي گراف جي صورت ۾ ظاهر ڪري سگهجي ٿو. مساوات کي پورو ڪندڙ $x$ ۽ $y$ جون سڀئي قيمتون نقطن طور سمجهيون وينديون آهن. مٿي ڏنل گراف ۾ اهي ڳاڙهي، مٿي چڙهندڙ سڌي ليڪ جي صورت ۾ ڏيکاريل آهن.

الجبرائي مساواتن کي هندسي انداز ۾ پڻ سمجهي سگهجي ٿو، جتي اهي گراف جي صورت ۾ فضائي شڪلين کي بيان ڪن ٿيون. ان لاءِ مساوات ۾ موجود مختلف متغيرن کي همراهن (coordinates) طور سمجهيو ويندو آهي، ۽ مساوات کي پورو ڪندڙ قدرن کي گراف جا نقطا تصور ڪيو ويندو آهي. مثال طور، جيڪڏهن مساوات ⁠$y=0.5x-1$⁠ ۾ $x=0$ رکجي، ته مساوات صحيح ٿيڻ لاءِ $y=-1$ هجڻ لازمي آهي. ان جو مطلب آهي ته نقطو $(0,-1)$ هن گراف جو حصو آهي. ان جي ابتڙ، نقطو ⁠$(0,7)$⁠ مساوات کي پورو نٿو ڪري، تنهنڪري اهو گراف جو حصو ناهي. گراف انهن سڀني $(x,y)$ نقطن تي مشتمل هوندو آهي، جيڪي مساوات کي صحيح ثابت ڪن ٿا.

پولي نوميل

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو پولي نوميل

پولي نوميل اهڙو اظهار آهي، جيڪو هڪ يا وڌيڪ حدن (ٽرمس) تي مشتمل هوندو آهي، جيڪي پاڻ ۾ جمع يا تفريق ڪيا ويندا آهن، جيئن ⁠$x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1$⁠. هر حد يا ته هڪ مستقل هوندي آهي، يا هڪ متغير، يا وري مستقل ۽ متغيرن جي حاصل ضرب هوندي آهي. هر متغير کي مثبت صحيح عدد جي قوت تائين کڻي سگهجي ٿو. هڪ حد وارو پولي نوميل مونو نوميل، ٻن حدن وارو بائنو نوميل ۽ ٽن حدن وارو ٽرائنو نوميل سڏبو آهي. پولي نوميل جي درجي (ڊگري) مان مراد ان جي حدن ۾ موجود متغيرن جي قوتن جي مجموعي جو سڀ کان وڏو قدر هوندو آهي (مٿين مثال ۾ 4). درجو هڪ وارن پولي نوميلن کي ليڪي پولي نوميل چيو ويندو آهي. ليڪي الجبرا ليڪي پولي نوميلن جي نظامن جو مطالعو ڪري ٿي. جيڪڏهن پولي نوميل ۾ رڳو هڪ متغير هجي ته ان کي يڪ متغيري (يونيويريئيٽ) ۽ جيڪڏهن هڪ کان وڌيڪ متغير هجن ته گهڻ متغيري (ملٽيويديئيٽ) چيو ويندو آهي.

عامل سازي (Factorization) هڪ اهڙو طريقو آهي، جيڪو پولي نوميلن کي سادو بڻائڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي، جيئن انهن جو تجزيو ڪرڻ ۽ اهي قيمتون معلوم ڪرڻ آسان ٿي وڃي، جن لاءِ اهي صفر ٿين ٿا. عامل سازي ۾ پولي نوميل کي ڪيترن ئي عاملن جي حاصلِ ضرب جي صورت ۾ ٻيهر لکيو ويندو آهي. مثال طور، پولي نوميل $x^{2}-3x-10$ کي ⁠$(x+2)(x-5)$⁠ جي صورت ۾ عامل بندي ڪري سگهجي ٿو. هي پولي نوميل تڏهن ۽ فقط تڏهن صفر ٿيندو، جڏهن ان جو گهٽ ۾ گهٽ هڪ عامل صفر هجي؛ يعني $x$ جي قيمت −2 يا 5 هجي.

اوڻيهين صديءَ کان اڳ، الجبرا جو وڏو حصو پولي نوميل مساواتن جي مطالعي لاءِ وقف هو، يعني اهڙين مساواتن لاءِ جيڪي ڪنهن پولي نوميل کي صفر جي برابر رکڻ سان ٺهن ٿيون. پولي نوميل مساواتن کي حل ڪرڻ جون شروعاتي ڪوششون انهن جي حلن کي n هين جذرن جي صورت ۾ ظاهر ڪرڻ تي ٻڌل هيون. ٻئي درجي جي پولي نوميل مساوات، جنهن جي صورت $ax^{2}+bx+c=0$ هجي، جو حل تربيعي فارمولو ذريعي ڏنو ويندو آهي:

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$$

ٽئين ۽ چوٿين درجي جي مساواتن جا عام حل ترتيبوار ڪيوبڪ ۽ چوٿين درجي جي فارمولن ذريعي ڏنا ويندا آهن. ان کان وڌيڪ درجي وارين مساواتن لاءِ ڪو به عام حل موجود نه آهي، جيئن اوڻيهين صديءَ ۾ ايبل–روفيني نظريو ثابت ڪيو. تنهن هوندي به، جتي عام حل موجود نه هجي، اتي نيوٽن–رافسن طريقو جهڙن عددي طريقن سان تقريبي حل حاصل ڪري سگهجن ٿا.

الجبرا جو بنيادي نظريو بيان ڪري ٿو ته مثبت درجي واري هر يڪ متغيري پولي نوميل مساوات، جنهن جا ضريب حقيقي يا مرڪب عدد هجن، گهٽ ۾ گهٽ هڪ مرڪب حل ضرور رکي ٿي. ان جو نتيجو اهو نڪري ٿو ته مثبت درجي واري هر پولي نوميل کي ليڪي پولي نوميلن ۾ عامل بندي ڪري سگهجي ٿو. هي نظريو اوڻيهين صديءَ جي شروعات ۾ ثابت ڪيو ويو، پر ان سان مسئلو مڪمل طور حل نه ٿيو، ڇاڪاڻ⁠تہ هي نظريو حلن کي ڳڻپ ڪرڻ يا انهن کي ڳولڻ جو ڪو طريقو فراهم نٿو ڪري.

عامل سازي (فيڪٽرائيزيشن) هڪ اهڙو طريقو آهي، جيڪو پولي نوميلن کي سادو بڻائڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي، جيئن انهن جو تجزيو ڪرڻ ۽ اهي قيمتون معلوم ڪرڻ آسان ٿي وڃي، جن لاءِ اهي صفر ٿين ٿا. عامل سازي ۾ پولي نوميل کي ڪيترن ئي عاملن جي حاصلِ ضرب جي صورت ۾ ٻيهر لکيو ويندو آهي. مثال طور، پولي نوميل $x^{2}-3x-10$ کي ⁠$(x+2)(x-5)$⁠ جي صورت ۾ عامل بندي ڪري سگهجي ٿو. هي پولي نوميل تڏهن ۽ فقط تڏهن صفر ٿيندو، جڏهن ان جو گهٽ ۾ گهٽ هڪ عامل صفر هجي؛ يعني $x$ جي قيمت −2 يا 5 هجي.

اوڻيهين صديءَ کان اڳ، الجبرا جو وڏو حصو پولي نوميل مساواتن جي مطالعي لاءِ وقف هو، يعني اهڙين مساواتن لاءِ جيڪي ڪنهن پولي نوميل کي صفر جي برابر رکڻ سان ٺهن ٿيون. پولي نوميل مساواتن کي حل ڪرڻ جون شروعاتي ڪوششون انهن جي حلن کي n هين جذرن جي صورت ۾ ظاهر ڪرڻ تي ٻڌل هيون. ٻئي درجي جي پولي نوميل مساوات، جنهن جي صورت $ax^{2}+bx+c=0$ هجي، جو حل تربيعي فارمولو ذريعي ڏنو ويندو آهي:

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$$

ٽئين ۽ چوٿين درجي جي مساواتن جا عام حل ترتيبوار ڪيوبڪ ۽ چوٿين درجي جي فارمولن ذريعي ڏنا ويندا آهن. ان کان وڌيڪ درجي وارين مساواتن لاءِ ڪو به عام حل موجود نه آهي، جيئن اوڻيهين صديءَ ۾ ايبل–روفيني نظريو ثابت ڪيو. تنهن هوندي به، جتي عام حل موجود نه هجي، اتي نيوٽن–رافسن طريقو جهڙن عددي طريقن سان تقريبي حل حاصل ڪري سگهجن ٿا.

الجبرا جو بنيادي نظريو بيان ڪري ٿو ته مثبت درجي واري هر يڪ متغيري پولي نوميل مساوات، جنهن جا ضريب حقيقي يا مرڪب عدد هجن، گهٽ ۾ گهٽ هڪ مرڪب حل ضرور رکي ٿي. ان جو نتيجو اهو نڪري ٿو ته مثبت درجي واري هر پولي نوميل کي ليڪي پولي نوميلن ۾ عامل بندي ڪري سگهجي ٿو. هي نظريو اوڻيهين صديءَ جي شروعات ۾ ثابت ڪيو ويو، پر ان سان مسئلو مڪمل طور حل نه ٿيو، ڇاڪاڻ⁠تہ هي نظريو حلن کي ڳڻپ ڪرڻ يا انهن کي ڳولڻ جو ڪو طريقو فراهم نٿو ڪري.

ليڪي (لينئر) الجبرا

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو ليڪي الجبرا

ليڪي الجبرا جي شروعات ليڪي مساواتن جي نظامن جي مطالعي سان ٿئي ٿي. هڪ ليڪي مساوات اها هوندي آهي، جيڪا ⁠$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b$⁠ جي صورت ۾ لکي سگهجي، جتي ⁠$a_{1}$⁠، ⁠$a_{2}$⁠، ...، $a_{n}$ ۽ $b$ مستقل هوندا آهن. ان جا مثال $x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0$ ۽ ⁠$\textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4$⁠ آهن. ليڪي مساواتن جو نظام اهڙين ڪيترين ئي ليڪي مساواتن جو مجموعو هوندو آهي، جنهن لاءِ گڏيل حل ڳوليا ويندا آهن.

ميٽرڪس قدرن جون مستطيل قطارون ۽ ڪالمن تي ٻڌل ترتيبون آهن، جيڪي اصل ۾ ليڪي مساواتن جي نظامن کي مختصر ۽ منظم نموني ظاهر ڪرڻ لاءِ متعارف ڪرايون ويون هيون. مثال طور، هي مساواتون

$${\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2.3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}$$

هيئن لکي سگهجن ٿيون:

$$AX=B,$$

جتي ⁠$A$⁠، $X$ ۽ $B$ هيٺيان ميٽرڪس آهن:

$$A={\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.$$

قطارن ۽ ڪالمن جي تعداد بابت ڪجهه شرطن هيٺ، ميٽرڪسن کي جمع، ضرب ۽ ڪجهه حالتن ۾ معڪوس به ڪري سگهجي ٿو. ليڪي مساواتن جي نظامن کي حل ڪرڻ جا سڀئي طريقا انهن عملن ذريعي ميٽرڪس جي صورت ۾ بيان ڪري سگهجن ٿا. مثال طور، مٿئين نظام کي حل ڪرڻ لاءِ معڪوس ميٽرڪس $A^{-1}$ ڳوليو ويندو آهي، جنهن لاءِ $A^{-1}A=I$ هجي، جتي $I$ سڃاڻپ ميٽرڪس آهي. پوءِ مساوات جي ٻنهي پاسن کي کاٻي پاسي کان $A^{-1}$ سان ضرب ڏيڻ تي ليڪي مساواتن جي نظام جو حل هيئن حاصل ٿئي ٿو:

$$X=A^{-1}B.$$

ليڪي مساواتن جي نظامن کي حل ڪرڻ جا طريقا سادا طريقا، جهڙوڪ متبادل ۽ خاتمو (elimination)، کان وٺي وڌيڪ ترقي يافته طريقن، جهڙوڪ ڪريمر جو قاعدو، گاوسي خاتمو ۽ LU تجزيو تائين پکڙيل آهن.

ڪجهه مساواتي نظام غير هم آهنگ (inconsistent) هوندا آهن، يعني انهن جو ڪو به حل موجود نه هوندو، ڇاڪاڻ⁠تہ انهن جون مساواتون هڪ ٻئي سان ٽڪراءُ رکن ٿيون. جڏهن ته هم آهنگ نظامن جو يا ته هڪ منفرد حل هوندو آهي يا لامحدود حل.

سمتي جڳههن ۽ ليڪي نقشون جو مطالعو ليڪي الجبرا جو وڏو حصو آهي. سمتي جڳهه هڪ الجبرائي ڍانچو آهي، جيڪو اهڙي مجموعي تي مشتمل هوندو آهي، جنهن ۾ جمع جو عمل ان کي ابيلي گروهه بڻائي ٿو ۽ اسڪيلر ضرب جمع سان هم آهنگ هوندي آهي (تفصيل لاءِ سمتي جڳهه ڏسو). ليڪي نقشو اهڙو تفاعل آهي، جيڪو ٻن سمتي جڳهن جي وچ ۾ جمع ۽ اسڪيلر ضرب سان هم آهنگ هجي. محدود-بعدي سمتي جڳهن جي حالت ۾ سمتيه ۽ ليڪي نقشا ميٽرڪسن ذريعي ظاهر ڪري سگهجن ٿا. تنهنڪري ميٽرڪسن ۽ محدود-بعدي سمتي جڳهن جا نظريا بنيادي طور هڪجهڙا آهن. خاص طور تي، سمتي جڳهون ليڪي مساواتن جي نظامن کي ظاهر ڪرڻ ۽ انهن تي عمل ڪرڻ جو ٽيون طريقو مهيا ڪن ٿيون. هن نقطه نظر کان، ميٽرڪس هڪ ليڪي نقشو جي نمائندگي آهي: جيڪڏهن بدلجندڙ سمتيهن کي بيان ڪرڻ لاءِ ڪا خاص بنياد چونڊي وڃي، ته ميٽرڪس جا عنصر ٻڌائين ٿا ته بنيادي سمتيهن تي ليڪي نقشو لاڳو ڪرڻ سان ڪهڙو نتيجو حاصل ٿئي ٿو.

ٻن متغيرن وارين ليڪي مساواتن کي هندسي طور سڌين لڪيرن جي صورت ۾ ظاهر ڪري سگهجي ٿو. ليڪي مساواتن جي نظام جو حل اهو نقطو هوندو آهي، جتي اهي لڪيرون هڪ ٻئي کي ڪٽين ٿيون.

مساواتن جي نظامن کي هندسي شڪلين جي صورت ۾ پڻ سمجهي سگهجي ٿو. ٻن متغيرن وارن نظامن ۾ هر مساوات سڌي لڪير جي نمائندگي ڪري ٿي، جيڪا ٻه-بعدي خلا ۾ واقع هوندي آهي. ٻن لڪيرن جو پاڻ ۾ ٽڪرائڻ وارو نقطو سڄي نظام جو حل هوندو آهي، ڇاڪاڻ⁠تہ اهو ئي واحد نقطو آهي، جيڪو ٻنهي مساواتن کي هڪ ئي وقت صحيح ثابت ڪري ٿو. غير هم آهنگ نظامن ۾ ٻئي لڪيرون پاڻ ۾ متوازي هونديون آهن، تنهنڪري انهن جو ڪو به حل نه هوندو، ڇاڪاڻ⁠تہ اهي ڪڏهن به نه ملنديون آهن. جيڪڏهن ٻه مساواتون هڪ ٻئي کان آزاد نه هجن، ته اهي ساڳي لڪير کي ظاهر ڪن ٿيون؛ اهڙي حالت ۾ هڪ مساوات جو هر حل ٻي مساوات جو به حل هوندو آهي. انهن لاڳاپن جي بنياد تي مساواتن جا گراف ٺاهي ۽ انهن جي ٽڪرائڻ واري هنڌ کي ڏسي حل گرافي طريقي سان به معلوم ڪري سگهجن ٿا. ساڳيا اصول وڌيڪ متغيرن وارن مساواتي نظامن تي پڻ لاڳو ٿين ٿا، فرق فقط ايترو آهي ته اهڙيون مساواتون لڪيرن بدران وڌيڪ بعدن وارين هندسي شڪلين کي ظاهر ڪن ٿيون. مثال طور، ٽن متغيرن واريون مساواتون سطحن جي نمائندگي ڪن ٿيون، ۽ اهو نقطو جتي سڀئي سطحون هڪ ٻئي کي ڪٽين ٿيون، سڄي مساواتي نظام جو حل هوندو آهي.

مجرد الجبرا

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو مجرد الجبرا

مجرد الجبرا، جنهن کي جديد الجبرا پڻ چيو ويندو آهي، الجبرائي ڍانچون جو مطالعو آهي. الجبرائي ڍانچو اهڙو فريم ورڪ آهي، جيڪو رياضياتي عملن کي رياضياتي شيءِن تي سمجهڻ لاءِ استعمال ٿيندو آهي، جيئن انگن جي جمع. جتي ابتدائي الجبرا ۽ ليڪي الجبرا مخصوص الجبرائي ڍانچن جي حدن اندر ڪم ڪن ٿا، اتي مجرد الجبرا وڌيڪ عام نقطه نظر اختيار ڪري ٿي، جنهن ۾ مختلف الجبرائي ڍانچن جي پاڻ ۾ فرق، انهن جي خاصيتن ۽ انهن جي قسمن، جهڙوڪ گروهه، رنگ ۽ ميدان، جو مطالعو ڪيو ويندو آهي. انهن مختلف الجبرائي ڍانچن جي وچ ۾ بنيادي فرق انهن عملن جي تعداد ۽ انهن قانونن ۾ هوندو آهي، جن جي اهي پيروي ڪن ٿا. رياضيات جي تعليم ۾، مجرد الجبرا هڪ اعليٰ درجي جو انڊر گريجوئيٽ ڪورس آهي، جيڪو رياضيات جا شاگرد ليڪي الجبرا جا ڪورس مڪمل ڪرڻ کان پوءِ پڙهن ٿا.

گهڻا الجبرائي ڍانچا ٻه-رخي عملن (بائنري آپريشنز) تي ٻڌل هوندا آهن، جيڪي ٻن شين کي داخلا طور وٺي انهن کي گڏائي هڪ نئين شيءِ نتيجي طور ڏيندا آهن، جيئن جمع ۽ ضرب.

رسمي لحاظ کان، الجبرائي ڍانچو مجموعي تي مشتمل هوندو آهي، جنهن ۾ رياضياتي شيون شامل هونديون آهن؛ هن کي بنيادي مجموعو (انڊرلائنگ سيٽ) چيو ويندو آهي، ۽ ان سان گڏ هڪ يا وڌيڪ عمل به هوندا آهن. مجرد الجبرا جو بنيادي ڌيان ٻه-رخي عملن تي هوندو آهي، جيڪي بنيادي مجموعي مان ڪنهن به ٻن عنصرن کي داخلا طور وٺي، ساڳئي مجموعي جي هڪ ٻئي عنصر کي نتيجي طور ڏيندا آهن.

مثال طور، الجبرائي ڍانچو $\langle \mathbb {N} ,+\rangle$ ۾ قدرتي عدد (⁠$\mathbb {N}$⁠) بنيادي مجموعو آهن، جڏهن ته جمع (⁠$+$⁠) ان جو ٻه-رخي عمل آهي. بنيادي مجموعي ۾ انگن کان سواءِ ٻيون رياضياتي شيون پڻ شامل ٿي سگهن ٿيون، ۽ عملن کي روايتي حسابي عملن تائين محدود نه ڪيو ويندو آهي. مثال طور، ڪنهن هندسي شڪل جي تماثلي گروهه (سميٽري گروپ) جو بنيادي مجموعو ھندسن، جهڙوڪ گردشن، تي مشتمل هوندو آهي، جن جي هيٺ اها شڪل بدلجڻ کان محفوظ رهندي آهي. ان جو ٻه-رخي عمل تفاعل جي ترڪيب (فنڪشن ڪمپوزيشن) هوندو آهي، جيڪو ٻن تبديليُن کي داخلا طور وٺي، پهرين تبديلي لاڳو ڪرڻ کان پوءِ ٻي تبديلي لاڳو ڪرڻ سان حاصل ٿيندڙ تبديلي کي نتيجي طور ڏئي ٿو.

گروھ جو نظريو

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو گروھ جو نظريو

تجريدي الجبرا، الجبرائي بناوتن کي انهن قانونن يا مسلمن (Axioms) جي بنياد تي درجا بندي ڪري ٿي، جن جي انهن جون عملون پيروي ڪن ٿيون، ۽ انهن عملن جي تعداد جي بنياد تي جيڪي اهي استعمال ڪن ٿيون. سڀ کان بنيادي الجبرائي بناوتن مان هڪ **گروھ** آهي، جنهن ۾ هڪ ئي عمل هوندو آهي ۽ ان لاءِ ضروري آهي ته اهو عمل تلازمي خاصيت (ايسوسيئيٽو پراپرٽي) رکي، ان جو هڪ سڃاڻپ عنصر (آڊنٽٽي ايليمينٽ) هجي ۽ هر عنصر لاءِ هڪ معڪوس عنصر (انورس ايليمينٽ) موجود هجي.

ڪنهن عمل کي تلازمي (ايسوسيئيٽو) تڏهن چيو ويندو آهي جڏهن ڪيترن عنصرن تي ان عمل جي لاڳو ٿيڻ جي ترتيب نتيجي تي اثرانداز نه ٿئي، يعني $(a\circ b)\circ c$ سڀني عنصرن لاءِ $a\circ (b\circ c)$ جي برابر هوندو.

ڪنهن عمل وٽ سڃاڻپ عنصر (يا غيرجانبدار عنصر) تڏهن هوندو آهي جڏهن ڪو عنصر e موجود هجي، جيڪو ڪنهن به ٻئي عنصر جي قيمت نه بدلائي، يعني ⁠$a\circ e=e\circ a=a$⁠.

ڪنهن عمل وٽ معڪوس عنصر تڏهن هوندا آهن جڏهن هر عنصر $a$ لاءِ هڪ اهڙو عنصر $a^{-1}$ موجود هجي، جيڪو $a$ جي اثر کي ختم ڪري ڇڏي. جيڪڏهن ڪو عنصر پنهنجي معڪوس سان عمل ڪري ته نتيجو غيرجانبدار عنصر e ٿيندو، جنهن کي رسمي طور هن ريت لکيو وڃي ٿو: ⁠$a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$⁠.

هر اها الجبرائي بناوت جيڪا انهن سڀني شرطن کي پورو ڪري، **گروھ** سڏبي آهي.

مثال طور، $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle$ هڪ گروھ آهي، جيڪو صحيح انگن جي مجموعي ۽ جمع جي عمل مان ٺهيل آهي. هن گروھ ۾ غيرجانبدار عنصر 0 آهي، جڏهن ته ڪنهن به عدد $a$ جو معڪوس $-a$ هوندو آهي. ان جي ابتڙ، قدرتي انگ جمع جي عمل سان گڏ گروھ نٿا بڻجن، ڇاڪاڻ⁠تہ انهن ۾ صرف مثبت صحيح انگ شامل هوندا آهن، تنهنڪري انهن وٽ معڪوس عنصر موجود ناهن.

گروھ جو نظريو گروھن جي خاصيتن ۽ بناوتن جو مطالعو ڪري ٿو. هن شعبي جا بنيادي نتيجا محدود ابيلين گروھن جو بنيادي نظريو ۽ فيٽ–ٿامپسن نظريو آهن. فيٽ–ٿامپسن نظريو ويهين صديءَ جي رياضيات جي سڀ کان اهم ڪاميابين مان هڪ، يعني محدود سادن گروھن جي درجابندي (ڪلاسيفڪيشن آف فنيٽ سمپل گروپس)، ڏانهن هڪ بنيادي شروعاتي قدم هو. هي گڏيل علمي ڪوشش 10,000 کان وڌيڪ تحقيقي جرنل صفحن تي پکڙيل هئي ۽ ان جو وڏو حصو 1960ع کان 2004ع جي وچ ۾ شايع ٿيو، جنهن جي نتيجي ۾ محدود سادن گروھن جي مڪمل درجابندي ممڪن ٿي.

رنگ جو نظريو ۽ ميدان جو نظريو

اصل مضمون/مضمونن جي لاءِ ڏسو رنگ جو نظريو ۽ ميدان (رياضيات)

• • رنگ** (Ring) هڪ الجبرائي بناوت آهي، جنهن ۾ ٻه عمل هوندا آهن، جيڪي انگن جي جمع ۽ ضرب وانگر ڪم ڪندا آهن، ۽ انهن جا نالا ۽ نشانيون به عام طور تي ساڳيون هونديون آهن. رنگ، جمع جي لحاظ کان هڪ تبادلي گروھ (ڪميوٽيٽو گروپ) هوندو آهي؛ يعني رنگ ۾ جمع جو عمل تلازمي (ايسوسيئيٽو) ۽ تبادلي (ڪميوٽيٽو) هوندو آهي، ۽ ان وٽ هڪ سڃاڻپ عنصر ۽ هر عنصر لاءِ معڪوس عنصر موجود هوندو آهي.

ضرب جو عمل تلازمي هوندو آهي ۽ جمع جي نسبت تقسيمي خاصيت (ڊسٽربيوٽوٽي) تي عمل ڪندو آهي؛ يعني $a(b+c)=ab+ac$ ۽ $(b+c)a=ba+ca.$ ان کان علاوه، ضرب جو عمل به تلازمي هوندو آهي ۽ ان وٽ هڪ سڃاڻپ عنصر هوندو آهي، جنهن کي عام طور تي 1 سان ظاهر ڪيو ويندو آهي.

ضروري ناهي ته ضرب جو عمل تبادلي هجي؛ جيڪڏهن اهو تبادلي هجي ته اهڙي رنگ کي تبادلي رنگ (Commutative ring) چيو ويندو آهي. صحيح انگن جو رنگ (⁠$\mathbb {Z}$⁠) تبادلي رنگن جي سڀ کان سادن مثالن مان هڪ آهي.

• • ميدان** (فيلڊ) اهڙو تبادلي رنگ هوندو آهي، جنهن ۾ ⁠$1\neq 0$⁠ ۽ هر غيرصفري عنصر وٽ ضربي معڪوس (ملٽيپليڪيٽو انورس) موجود هوندو آهي.

صحيح انگن جو رنگ ميدان نٿو بڻجي، ڇاڪاڻ⁠تہ ان ۾ ضربي معڪوس موجود ناهن. مثال طور، $7$ جو ضربي معڪوس ⁠${\tfrac {1}{7}}$⁠ آهي، جيڪو صحيح عدد ناهي. ان جي ابتڙ، ناسبي انگ، حقيقي انگ ۽ مرڪب انگ جمع ۽ ضرب جي عملن سان گڏ هر هڪ ميدان ٺاهي ٿو.

رنگ جو نظريو رنگن جو مطالعو ڪري ٿو، جنهن ۾ ذيلي رنگ، حصيدار رنگ، ڪثيرحدي رنگ ۽ آئيڊيل جهڙا تصور، گڏوگڏ هلبرٽ جو بنيادي نظريو (ھلبرٽز بيسس ٿيورم) جهڙا اهم نظريا شامل آهن.

• • ميدان جو نظريو** ميدانن جو مطالعو ڪري ٿو، جنهن ۾ ميدان جي توسيع، الجبرائي بندش ۽ محدود ميدان جهڙا موضوع شامل آهن.

گالوا جو نظريو (گالوائس ٿيوري) ميدان جي نظريي ۽ گروھ جي نظريي جي وچ ۾ لاڳاپي جو مطالعو ڪري ٿو، ۽ ان جو بنياد گالوا جي نظريي جو بنيادي ٿيورم (Galoi) تي آهي.

ڍانچن جي وچ ۾ لاڳاپن جا نظريا

ڪجهه الجبرائي ڍانچن جي وچ ۾ لاڳاپن جو خاڪو. مثال طور، ان جي مٿئين ساڄي حصي مان ظاهر ٿئي ٿو ته جيڪڏهن ميگما جو عمل اشتراڪي هجي، ته اهو نيم گروهه بڻجي وڃي ٿو.

گروهن، رنگن ۽ ميدانن کان سواءِ، الجبرا ۾ ٻيا به ڪيترائي الجبرائي ڍانچا پڙهيا وڃن ٿا. انهن ۾ ميگما، نيم گروهه، مونوئڊ، ابيلي گروهه، تبادلي وارو رنگ، ماڊيول، لاٽس، سمتي جڳهه، ميدان مٿان الجبرا، ۽ اشتراڪي توڙي غير اشتراڪي الجبرا شامل آهن. اهي پاڻ ۾ انهن شين جي قسمن جي لحاظ کان مختلف آهن، جن کي اهي بيان ڪن ٿا، ۽ انهن شرطن جي لحاظ کان پڻ، جيڪي انهن جا عمل پورا ڪن ٿا. انهن مان گهڻا هڪ ٻئي سان اهڙيءَ طرح لاڳاپيل آهن، جو ڪنهن بنيادي ڍانچي تي وڌيڪ شرطون لاڳو ڪري ان کي وڌيڪ مخصوص ڍانچي ۾ تبديل ڪري سگهجي ٿو. مثال طور، جيڪڏهن ميگما جو عمل اشتراڪي هجي، ته اهو نيم گروهه بڻجي وڃي ٿو.

هومومورفزم ٻن الجبرائي ڍانچن جي ڀيٽ ڪري انهن جي ڍانچائي خاصيتن جو جائزو وٺڻ جا اوزار آهن. هومومورفزم هڪ اهڙو تفاعل آهي، جيڪو هڪ الجبرائي ڍانچي جي بنيادي مجموعي کان ٻئي الجبرائي ڍانچي جي بنيادي مجموعي ڏانهن وڃي ٿو ۽ ڪجهه ڍانچائي خاصيتن کي محفوظ رکي ٿو. جيڪڏهن ٻن الجبرائي ڍانچن ۾ ٻه-رخي عمل استعمال ٿين ٿا ۽ انهن جون صورتون $\langle A,\circ \rangle$ ۽ $\langle B,\star \rangle$ آهن، ته تفاعل $h:A\to B$ تڏهن هومومورفزم هوندو، جڏهن اهو هي شرط پورو ڪري: ⁠$h(x\circ y)=h(x)\star h(y)$⁠. هومومورفزم جي موجودگي ظاهر ڪري ٿي ته ٻئي الجبرائي ڍانچي ۾ عمل $\star$ ساڳيو ڪردار ادا ڪري ٿو، جيڪو پهرئين الجبرائي ڍانچي ۾ عمل $\circ$ ادا ڪري ٿو.

آئسومورفزم هومومورفزم جو هڪ خاص قسم آهي، جيڪو ٻن الجبرائي ڍانچن جي وچ ۾ تمام وڏي هڪجهڙائي ظاهر ڪري ٿو. آئسومورفزم هڪ هڪ-هڪ ۽ مٿان هومومورفزم هوندو آهي، يعني اهو ٻنهي الجبرائي ڍانچن جي عنصرن جي وچ ۾ هڪ-هڪ لاڳاپو قائم ڪري ٿو. ان مان مراد اها آهي ته پهرئين الجبرائي ڍانچي جو هر عنصر ٻئي ڍانچي جي هڪ منفرد عنصر ڏانهن نقشو ٿئي ٿو، ۽ ٻئي ڍانچي ۾ ڪو به عنصر بغير نقش ٿيڻ جي نه رهي ٿو.

ذيلي الجبرا اصل الجبرائي ڍانچي جي بنيادي مجموعي جي هڪ ذيلي مجموعي تائين پنهنجن عملن کي محدود رکي ٿي.

ڀيٽ جو هڪ ٻيو اوزار الجبرائي ڍانچي ۽ ان جي ذيلي الجبرا جي وچ ۾ لاڳاپو آهي. الجبرائي ڍانچو ۽ ان جي ذيلي الجبرا ساڳيا عمل استعمال ڪن ٿا، جيڪي ساڳين مسلمن جي پيروي ڪن ٿا. فرق رڳو ايترو آهي ته ذيلي الجبرا جو بنيادي مجموعو، اصل الجبرائي ڍانچي جي بنيادي مجموعي جو هڪ ذيلي مجموعو هوندو آهي. ذيلي الجبرا جا سڀئي عمل ان جي بنيادي مجموعي ۾ بند هجڻ گهرجن، يعني اهي فقط اهڙا نتيجا پيدا ڪن، جيڪي انهيءَ مجموعي ۾ شامل هجن.

مثال طور، جفت صحيح عددن جو مجموعو، جمع جي عمل سان گڏ، صحيح عددن جي مڪمل مجموعي ۽ جمع جي عمل واري الجبرائي ڍانچي جي ذيلي الجبرا آهي. اهو ان ڪري، جو ٻن جفت انگن جو مجموعو وري به جفت انگ هوندو آهي. پر طاق صحيح عددن جو مجموعو، جمع جي عمل سان گڏ، ذيلي الجبرا نه آهي، ڇاڪاڻ⁠تہ اهو بند ناهي: ٻن طاق انگن کي جمع ڪرڻ سان جفت انگ حاصل ٿئي ٿو، جيڪو چونڊيل ذيلي مجموعي ۾ شامل نه هوندو آهي.

عالمي الجبرا عام طور الجبرائي ڍانچن جو مطالعو آهي. پنهنجي عام نقطه نظر سبب اها بنيادي مجموعن جي مخصوص عنصرن سان واسطو نٿي رکي ۽ ٻن کان وڌيڪ داخلائن وارن عملن، جهڙوڪ ٽن-رخي عملن، تي پڻ غور ڪري ٿي. اها مختلف الجبرائي ڍانچن جي گڏيل ڍانچائي خاصيتن جي تحقيق لاءِ هڪ فريم ورڪ مهيا ڪري ٿي.

انهن ڍانچائي خاصيتن مان هڪ جو واسطو انهن سڃاڻپن سان آهي، جيڪي مختلف الجبرائي ڍانچن ۾ صحيح هونديون آهن. هن حوالي سان، سڃاڻپ هڪ عالمي مساوات هوندي آهي، يعني اهڙي مساوات جيڪا بنيادي مجموعي جي سڀني عنصرن لاءِ صحيح هجي. مثال طور، تبادليت هڪ عالمي مساوات آهي، جيڪا بيان ڪري ٿي ته سڀني عنصرن لاءِ $a\circ b$، $b\circ a$ جي برابر آهي. قسم (variety) انهن سڀني الجبرائي ڍانچن جو طبقو آهي، جيڪي ڪجهه مخصوص سڃاڻپن کي پورو ڪن ٿا. مثال طور، جيڪڏهن ٻه الجبرائي ڍانچا تبادليت واري سڃاڻپ کي پورو ڪن ٿا، ته ٻئي ساڳئي قسم جو حصو آهن.

درجا بندي جو نظريو درجن جي تصور وسيلي اهو جائزو وٺي ٿو ته رياضياتي شيون هڪ ٻئي سان ڪيئن لاڳاپيل آهن. درجو شين جي هڪ مجموعي ۽ انهن شين جي وچ ۾ مورفزمن يا ”تيرن“ جي مجموعي تي مشتمل هوندو آهي. انهن ٻنهي مجموعن کي ڪجهه شرطن تي پورو لهڻو پوندو آهي. مثال طور، مورفزمن کي پاڻ ۾ ملائي يا مرڪب ڪري سگهجي ٿو: جيڪڏهن شيءِ $a$ کان شيءِ ⁠$b$⁠ ڏانهن ڪو مورفزم موجود هجي، ۽ شيءِ $b$ کان شيءِ ⁠$c$⁠ ڏانهن ٻيو مورفزم موجود هجي، ته شيءِ $a$ کان شيءِ ⁠$c$⁠ ڏانهن به هڪ مورفزم موجود هجڻ گهرجي. مورفزمن جي ترڪيب جو اشتراڪي هجڻ لازمي آهي، ۽ هر شيءِ لاءِ هڪ ”سڃاڻپ مورفزم“ پڻ موجود هجڻ گهرجي.

درجا جديد رياضيات ۾ وڏي پيماني تي استعمال ٿين ٿا، ڇاڪاڻ⁠تہ اهي ڪيترن بنيادي رياضياتي تصورن کي بيان ڪرڻ ۽ تجزيو ڪرڻ لاءِ هڪ گڏيل فريم ورڪ مهيا ڪن ٿا. مثال طور، مجموعن کي مجموعن جي درجي وسيلي بيان ڪري سگهجي ٿو، ۽ ڪنهن به گروهه کي رڳو هڪ شيءِ واري درجي جي مورفزمن طور سمجهي سگهجي ٿو.

استعمال

پڻ ڏسو: اطلاقِي رياضيات

الجبرا جو اثر تمام وسيع آهي، ڇا رياضيات جي اندر ۽ ڇا ٻين شعبن ۾ ان جي استعمالن جي لحاظ کان. رياضيات جي الجبرائيت مان مراد الجبرائي طريقن ۽ اصولن کي رياضيات جي ٻين شاخن، جهڙوڪ هندسه، ٽوپولاجي، عددن جو نظريو ۽ ڪلڪيولس، تي لاڳو ڪرڻ جو عمل آهي. اهو متغيرن جي صورت ۾ علامتون استعمال ڪري رياضياتي ڄاڻ کي وڌيڪ عام سطح تي ظاهر ڪرڻ سان ممڪن ٿئي ٿو، جنهن وسيلي رياضي دان اهڙا رسمي نمونا تيار ڪري سگهن ٿا، جيڪي بيان ڪن ٿا ته شيون پاڻ ۾ ڪيئن عمل ڪن ٿيون ۽ ڪيئن لاڳاپيل آهن.

الجبرائي مساوات $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$، مبدا تي واقع 1 ريڊيس واري گولي کي بيان ڪري ٿي.

هندسي ۾ الجبرا جي هڪ استعمال جو مثال هندسي شڪلين کي بيان ڪرڻ لاءِ الجبرائي بيانن جو استعمال آهي. مثال طور، مساوات $y=3x-7$ ٻه-بعدي خلا ۾ هڪ سڌي لڪير بيان ڪري ٿي، جڏهن ته مساوات $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ٽي-بعدي خلا ۾ هڪ گولي سان لاڳاپيل آهي. الجبرائي هندسه ۾ خاص دلچسپي الجبرائي قسمن ۾ هوندي آهي، جيڪي پولي نوميل مساواتن جي نظامن جا حل هوندا آهن ۽ وڌيڪ پيچيده هندسي شڪلين کي بيان ڪرڻ لاءِ استعمال ٿي سگهن ٿا. الجبرائي استدلال وسيلي هندسي مسئلا پڻ حل ڪري سگهجن ٿا. مثال طور، مساوات $y=x+1$ سان بيان ڪيل لڪير، مساوات $x^{2}+y^{2}=25$ سان بيان ڪيل دائري کي ڪٿي ۽ ڇا ٽوڙي ٿي، اهو انهن ٻنهي مساواتن تي مشتمل نظام کي حل ڪري معلوم ڪري سگهجي ٿو.

ٽوپولاجي هندسي شڪلين يا ٽوپولاجيڪل جڳههن جي انهن خاصيتن جو مطالعو ڪري ٿي، جيڪي لڳاتار تبديلي جي عملن هيٺ محفوظ رهن ٿيون. الجبرائي ٽوپولاجي ٽوپولاجيڪل جڳهن جي درجابندي ڪرڻ لاءِ گروهه جو نظريو جهڙن الجبرائي نظرين تي ڀاڙي ٿي. مثال طور، هوموٽوپي گروهه ٽوپولاجيڪل جڳهن کي انهن ۾ لوپن يا سوراخن جي موجودگيءَ جي بنياد تي درجابند ڪن ٿا.

عددن جو نظريو صحيح عددن جي خاصيتن ۽ انهن جي وچ ۾ لاڳاپن سان واسطو رکي ٿو. الجبرائي عددن جو نظريو هن شعبي ۾ الجبرائي طريقن ۽ اصولن کي لاڳو ڪري ٿو. ان جي مثالن ۾ عام قانونن، جهڙوڪ فرما جو آخري نظريو، کي بيان ڪرڻ لاءِ الجبرائي اظهارن جو استعمال، ۽ انگن جي ورتاءَ جو جائزو وٺڻ لاءِ صحيح عددن جو رنگ جهڙن الجبرائي ڍانچن جو استعمال شامل آهي.

ان سان لاڳاپيل شعبو ترڪيبيات الڳ الڳ شين جي ڳڻپ، ترتيب ۽ ميلاپ سان لاڳاپيل مسئلا حل ڪرڻ لاءِ الجبرائي طريقا استعمال ڪري ٿو. الجبرائي ترڪيبيات ۾ ان جو هڪ مثال گرافن ۽ تماثلن جو تجزيو ڪرڻ لاءِ گروهه جي نظريي جو استعمال آهي. الجبرا جون ڄاڻون ڪلڪيولس لاءِ پڻ اهم آهن، جيڪو تبديليءَ جي شرحن ۽ گڏجڻ جو جائزو وٺڻ لاءِ رياضياتي اظهار استعمال ڪري ٿو. مثال طور، ڪلڪيولس اهو سمجهڻ لاءِ الجبرا تي ڀاڙي ٿو ته انهن اظهارن کي ڪيئن تبديل ڪري سگهجي ٿو ۽ متغير انهن ۾ ڪهڙو ڪردار ادا ڪن ٿا.

الجبرائي منطق منطقي استدلال جي بنياد ۾ موجود ڍانچن ۽ نمونن کي بيان ۽ تجزيو ڪرڻ لاءِ الجبرا جا طريقا استعمال ڪري ٿي، ۽ لاڳاپيل رياضياتي ڍانچن توڙي انهن جي منطق جي عملي مسئلن تي استعمال جو جائزو وٺي ٿي. ان ۾ بياني منطق کي بيان ڪرڻ لاءِ بولين الجبرا جو مطالعو، ۽ وڌيڪ پيچيده منطقي نظامن سان لاڳاپيل الجبرائي ڍانچن جي تشڪيل ۽ تجزيو پڻ شامل آهي.

روبڪ جو ڪيوب جا پاسا ڦيرائي رنگين خانن جي ترتيب بدلائي سگهجي ٿي. نتيجي ۾ پيدا ٿيندڙ جايون مٽجڻ هڪ اهڙو گروهه ٺاهين ٿيون، جنهن کي روبڪ جي ڪيوب جو گروهه چيو ويندو آهي.

الجبرائي طريقا ٻين شعبن، جهڙوڪ قدرتي سائنسن، ۾ پڻ عام طور استعمال ٿين ٿا. مثال طور، اهي سائنسي قانونن کي بيان ڪرڻ ۽ طبعيات، ڪيميا ۽ حياتيات ۾ مساواتون حل ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيا وڃن ٿا. اهڙا ئي استعمال معاشيات، جاگرافي، انجنيئرنگ، جنهن ۾ اليڪٽرانڪس ۽ روبوٽڪس پڻ شامل آهن، ۽ ڪمپيوٽر سائنس جهڙن شعبن ۾ لاڳاپا بيان ڪرڻ، مسئلا حل ڪرڻ ۽ نظامن جا نمونا ٺاهڻ لاءِ ملن ٿا.

ليڪي الجبرا مصنوعي ذهانت ۽ مشيني سکيا ۾ مرڪزي ڪردار ادا ڪري ٿي؛ مثال طور، اها وڏن ڊيٽا سيٽن جي اثرائتي نموني پروسيسنگ ۽ تجزيي کي ممڪن بڻائي ٿي. ڪيترائي شعبا مجرد الجبرا ۾ پڙهيا ويندڙ الجبرائي ڍانچن تي ڀاڙين ٿا. مثال طور، بلوريات ۽ ڪوانٽم ميڪانيات جهڙيون طبعي سائنسون گروهه جي نظريي جو وڏي پيماني تي استعمال ڪن ٿيون، جيڪو سڊوڪو، روبڪ جي ڪيوب جهڙين ڳجهارتن، ۽ اوريگامي جي مطالعي لاءِ پڻ استعمال ٿئي ٿو. ڪوڊنگ جو نظريو ۽ رمزيات ٻئي ڊيٽا جي منتقلي سان لاڳاپيل مسئلا حل ڪرڻ لاءِ مجرد الجبرا تي ڀاڙين ٿا، جهڙوڪ شور جي اثرن کان بچڻ ۽ ڊيٽا جي سلامتي کي يقيني بڻائڻ.

تعليم

پڻ ڏسو: رياضيات جي تعليم

تارازو الجبرا جي تعليم ۾ شاگردن کي اهو سمجهائڻ لاءِ استعمال ڪيا ويندا آهن ته اڻڄاتل قدر معلوم ڪرڻ خاطر مساواتن کي ڪيئن تبديل ڪري سگهجي ٿو.

الجبرا جي تعليم جو گهڻو ڌيان ابتدائي الجبرا تي هوندو آهي، ۽ اهو ئي هڪ سبب آهي جو ابتدائي الجبرا کي اسڪولي الجبرا پڻ چيو ويندو آهي. ان کي عام طور ثانوي تعليم کان اڳ متعارف نه ڪرايو ويندو آهي، ڇاڪاڻ⁠تہ ان لاءِ حساب جي بنيادي اصولن تي عبور ضروري آهي، جڏهن ته اهو تجريدي استدلال ۽ عام ڪرڻ سان لاڳاپيل نوان ذهني چئلينج پڻ پيش ڪري ٿو. ان جو مقصد شاگردن کي رياضيات جي رسمي پهلوءَ سان واقف ڪرڻ آهي، جيئن کين رياضياتي علامتن کي سمجهڻ ۾ مدد ملي؛ مثال طور، متغيرن کي اڻڄاتل مقدارن جي نمائندگي ڪرڻ لاءِ ڪيئن استعمال ڪري سگهجي ٿو. شاگردن لاءِ هڪ وڌيڪ ڏکيائي اها آهي ته حسابي ڳڻپن جي ابتڙ، الجبرائي اظهارن کي گهڻو ڪري سڌيءَ ريت حل ڪرڻ ڏکيو هوندو آهي. ان بدران شاگردن کي سکڻو پوندو آهي ته مخصوص قانونن موجب انهن اظهارن کي ڪيئن تبديل ڪجي، اڪثر ڪنهن اڻڄاتل مقدار کي معلوم ڪرڻ لاءِ.

شاگردن کي الجبرا جي تجريدي پهلوءَ سان متعارف ڪرائڻ لاءِ ڪجهه اوزار ٺوس نمونن ۽ مساواتن جي بصري ڏيکاءَ تي ڀاڙين ٿا. انهن ۾ هندسي مشابهتون، هٿ سان هلائي سگهجندڙ شيون جهڙوڪ ڪاٺيون يا ڪوپ، ۽ اهڙيون ”تفاعل مشينون“ شامل آهن، جيڪي مساواتن کي وهڪري جي خاڪن جي صورت ۾ ظاهر ڪن ٿيون. هڪ طريقي ۾ تارازو کي تصويري نموني طور استعمال ڪيو ويندو آهي، جيئن شاگرد الجبرا جا بنيادي مسئلا سمجهي سگهن. تارازي تي ڪجهه شين جو وزن اڻڄاتل هوندو آهي ۽ اهي متغيرن جي نمائندگي ڪن ٿيون. مساوات حل ڪرڻ جو عمل ٻنهي پاسن تي شيون شامل ڪرڻ يا هٽائڻ سان لاڳاپيل هوندو آهي، اهڙيءَ طرح جو ٻئي پاسا توازن ۾ رهن، تان جو هڪ پاسي رڳو اڻڄاتل وزن واري شيءِ باقي رهي.

لفظي مسئلا اهو ڏيکارڻ جو هڪ ٻيو اوزار آهن ته الجبرا کي روزمره جي حالتن ۾ ڪيئن لاڳو ڪيو وڃي ٿو. مثال طور، شاگردن آڏو اهڙي صورتحال رکي سگهجي ٿي، جنهن ۾ نائومي جي ڀاءُ وٽ نائومي جي ڀيٽ ۾ ٻيڻا صوف هجن. جيڪڏهن ٻنهي وٽ گڏجي ٻارهن صوف هجن، ته پوءِ شاگردن کان اهڙي الجبرائي مساوات ٺاهڻ لاءِ چيو وڃي ٿو، جيڪا هن صورتحال کي بيان ڪري (⁠$2x+x=12$⁠)، ۽ اهو معلوم ڪرڻ لاءِ چيو وڃي ٿو ته نائومي وٽ ڪيترا صوف آهن (⁠$x=4$⁠).

يونيورسٽي سطح تي رياضيات جا شاگرد ليڪي ۽ مجرد الجبرا جي وڌيڪ اعليٰ موضوعن سان واقف ٿين ٿا. ليڪي الجبرا جا شروعاتي انڊر گريجوئيٽ ڪورس ميٽرڪسن، سمتي جڳهن ۽ ليڪي نقشن تي ڌيان ڏين ٿا. اهي ڪورس مڪمل ڪرڻ کان پوءِ شاگردن کي عام طور مجرد الجبرا سان متعارف ڪرايو ويندو آهي، جتي اهي گروهن، رنگن ۽ ميدانن جهڙن الجبرائي ڍانچن ۽ انهن جي وچ ۾ لاڳاپن بابت سکندا آهن. نصاب ۾ عام طور الجبرائي ڍانچن جا مخصوص مثال پڻ شامل هوندا آهن، جهڙوڪ ناطق عددن، حقيقي عددن ۽ پولي نوميلن جا نظام.

پڻ ڏسو

• ڪمييوٽيٽو الجبرا
• ڪمپيوٽر الجبرا
• خارجي الجبرا
• ايف-الجبرا
• جاميٽري الجبرا
• غير اشتراڪي الجبرا
• الجبرا جو خاڪو
• نمائندگيءَ جو نظريو
• ٽينسر