آلجبرا

الجبرا الخوارزمي جي ڪتاب "الجبر و المقابله" جي نالي مان ورتل آھي

الجبرا (انگريزي: Algebra؛ عربي: الجبر، ٽٽل حصن جو ٻيھر جوڙ) علم رياضيات جي ھڪ شاخ جو نالو آهي، جيڪا انگن (Numbers) جي عام خاصيتن سان تعلق رکي ٿي. انگن جي خاصيتن مان پيدا ٿيندڙ انھن جي عام حيثيت کي الجبرا سڏيو ويندو آهي. الجبرائي حسابن ۾ عام انگن کي اڪثر علامتن سان ظاھر ڪيو ويندو آهي، ھن ڪري اھا انگي حسابن (Arithmetic) کان مختلف ھوندا آھن. مثال طور: ھيا مساوات انگي حساب جي عبارت آهي.

(5 + 7) •2 = 2•5 + 2•7
پر ھيٺ ڏنل ھڪ ٻي مساوات وري انگن جون ٽي مختلف خاصيتن کي علامتن ذريعي ظاهر ڪري ٿي تنھنڪري اھا مساوات ھڪ الجبرائي عبارت آهي.

x•y + x•z = x•(y + z)
لفظ الجبرا عربي جو لفظ آهي جيڪو فارسي نسل جي مشھور رياضي دان محمد بن موسیٰ الخوارزمي (780ع- 850ع) جي ڪتاب جي نالي "الجبر و المقابله" (بحالي ۽ تڪرار) مان ورتل آهي. الجبرائي حسابن کي آسان طريقي سان سمجھڻ لاء ھڪ سادو مثال ڏجي ٿو ته: عام انگي حسابن ۾ 9=4+3+2 ھوندو آھي. پر الجبرا جي حسابن ۾ 9=2a+3b+4c وانگر لکبو آھي جنھن ۾ a, b, c ڦرڻا (Variables) آھن، جيڪي ڪنھن نہ ڪنھن شئي جي بدران علامتي طور تي لکيا ويندا آھن. جئين ته ڪيلو=a، صوف=b ۽ نارنگي=c ھجي تہ هنن جي مجموعي کي ان الجبرائي عبارت ۾ ھن طرح لکبو آھي: 4c+3b+2a (2 ڪيلا، 3 صوف ۽ 4 نارنگيون)

جديد دؤر ۾ الجبرا جو علم وڌي يارھن قسمن جو ٿي چڪو آهي جن م ايبسٽريڪٽ الجبرا؛ ماڊيولر رياضي جي صورت ۾ متبادل انگي نظام جو مطالعو ۽ ان جي گروپ ٿيوري، منطقي نتيجن واري بوليئن الجبرا، ميٽرڪس الجبرا ۽ ويڪٽر الجبرا شامل آهن.

تفصيل

the kind of algebraic structure جي لاءِ Algebra over a field ڏسو. ٻين استعمالن لاءِ other uses آلجبرا (سلجھائپ) ڏسو.

Elementary algebra studies which values solve equations formed using arithmetical operations. ابتدائي الجبرا جيڪا مساوات جي حل لاء رياضياتي آپريشن (+،-،×،÷) جي استعمال تي زور ڏيندي آهي.

Abstract algebra studies algebraic structures, such as the ring of integers given by the set of integers $(\mathbb {Z} )$ together with the the operations of addition (+) and

multiplication (×)

تجريدي الجبرا الجبري جوڙجڪ جو مطالعو ڪري ٿو، جهڙوڪ عددن جي سيٽ (Z) پاران ڏنل عددن جو انگوزي، گڏوگڏ اضافو (+) ۽ ضرب (×) جي عملن سان گڏ

ابتدائي الجبرا جيڪا مساوات جي حل لاء رياضياتي آپريشن (+،-،×،÷) جي استعمال تي زور ڏيندي آهي.

• تجريدي الجبرا الجبري جوڙجڪ جو مطالعو ڪري ٿو، جهڙوڪ عددن جي سيٽ (Z) پاران ڏنل عددن جو انگوزي، گڏوگڏ اضافو (+) ۽ ضرب (×) جي عملن سان گڏ

الجبرا (Algebra) علم رياضيات جي هڪ شاخ آهي جيڪا تجريدي نظامن سان ڊيل ڪري ٿي، جن کي الجبري جوڙجڪ سڏيو ويندو آهي، ۽ انهن نظامن اندر اظهارن جي هٿ چراند. اهو رياضي جو هڪ عام ڪرڻ آهي جيڪو معياري رياضي عملن کان سواءِ متغير ۽ الجبري آپريشن متعارف ڪرائيندو آهي، جهڙوڪ اضافو ۽ ضرب.

ابتدائي الجبرا اسڪولن ۾ سيکاريل الجبرا جو مکيه روپ آهي. اهو غير متعين قدرن لاءِ متغيرن کي استعمال ڪندي رياضياتي بيانن جي جانچ ڪري ٿو ۽ اهو طئي ڪرڻ جي ڪوشش ڪري ٿو ته ڪهڙن قدرن لاءِ بيان سچا آهن. ائين ڪرڻ لاءِ، اهو متغيرن کي الڳ ڪرڻ لاءِ مساواتن کي تبديل ڪرڻ جا مختلف طريقا استعمال ڪري ٿو. لڪير الجبرا هڪ ويجهي سان لاڳاپيل ميدان آهي جيڪو لڪير مساواتن ۽ انهن جي ميلاپ جي جاچ ڪري ٿو جنهن کي لڪير مساواتن جو نظام سڏيو ويندو آهي. اهو انهن قدرن کي ڳولڻ جا طريقا مهيا ڪري ٿو جيڪي هڪ ئي وقت سسٽم ۾ سڀني مساواتن کي حل ڪن ٿا، ۽ انهن حلن جي سيٽ جو مطالعو ڪن ٿا. * خلاصو الجبرا الجبري جوڙجڪ جو مطالعو ڪري ٿو، جيڪي رياضياتي شين جي هڪ سيٽ تي مشتمل آهن ۽ ان سيٽ تي بيان ڪيل هڪ يا ڪيترائي عمل شامل آهن. اهو ابتدائي ۽ لڪير الجبرا جو هڪ عام ڪرڻ آهي ڇاڪاڻ ته اهو انگن ۽ غير رياضي عملن کان سواءِ رياضياتي شين جي اجازت ڏئي ٿو.

Algebra is a branch of mathematics that deals with abstract systems, known as algebraic structures, and the manipulation of expressions within those systems. It is a generalization of arithmetic that introduces variables and algebraic operations other than the standard arithmetic operations, such as addition and multiplication.

Elementary algebra is the main form of algebra taught in schools. It examines mathematical statements using variables for unspecified values and seeks to determine for which values the statements are true. To do so, it uses different methods of transforming equations to isolate variables. Linear algebra is a closely related field that investigates linear equations and combinations of them called systems of linear equations. It provides methods to find the values that solve all equations in the system at the same time, and to study the set of these solutions.

Abstract algebra studies algebraic structures, which consist of a set of mathematical objects together with one or several operations defined on that set. It is a generalization of elementary and linear algebra since it allows mathematical objects other than numbers and non-arithmetic operations. It distinguishes between different types of algebraic structures, such as groups, rings, and fields, based on the number of operations they use and the laws they follow, called axioms. Universal algebra and category theory provide general frameworks to investigate abstract patterns that characterize different classes of algebraic structures.

Algebraic methods were first studied in the ancient period to solve specific problems in fields like geometry. Subsequent mathematicians examined general techniques to solve equations independent of their specific applications. They described equations and their solutions using words and abbreviations until the 16th and 17th centuries when a rigorous symbolic formalism was developed. In the mid-19th century, the scope of algebra broadened beyond a theory of equations to cover diverse types of algebraic operations and structures. Algebra is relevant to many branches of mathematics, such as geometry, topology, number theory, and calculus, and other fields of inquiry, like logic and the empirical sciences.

تاريخ

الجبرائي حسابن جو ذڪر تاريخ ۾ قديم مصر ۽ بابل جي تھذيبن سميت قديم يوناني علم رياضي تائين ملي ٿو. مصري ۽ بابلي تھذيبن جي علم جو وڏو حصو يونان منتقل ٿيو، جتي يونانين الجبرا کي نوان رخ ڏنا، جن ۾ انھن الجبرائي مسئلن کي جاميٽري ذريعي ڏسڻ شروع ڪيو. تحقيق کان پوءِ اهو معلوم ٿيو آهي ته ٽي سئو سال قبل مسيح جي زماني ۾ اقليدس ۽ اسڪندريه جي مدرسي جا ڪجهه فرد الجبرا کان واقف هئا. تحقيقات جي بنياد تي اهو چئي سگهجي ٿو ته، "ٻه هزار سال قبل مسيح جي زماني کان رياضي دانن کي الجبرا جو علم هو. سڀ کان قديم رسالو جنهن ۾ هڪ الجبرائي مسئلو درج آهي جو نالو اهميس پاپائرس (Ahmes Papyrus) آهي، جيڪو تقريباً 1600-1700 قبل مسيح ۾ لکيو ويو. قديم يونان جي علم رياضيات ۾ ڪجهه الجبرائي حساب يا مسئلا 1650 ق.م جي رھنڊ پپائرس (Rhind papyrus) تي لکيل مليا آھن، جنھن ۾ لکيل ھڪ مسئلو ھيٺ ڏجي ٿو:

جيڪڏهن ڪنھن شئي جي ملھ ۾ ان جو چوٿون حصو جوڙ ڪرڻ سان اھو وڌي 15 ٿئي تہ ان شئي جو اصل ملھ ڪيترو آھي.؟

— 1650ق.م ۾ يوناني رياضي، رھنڊ پپائرس

يوناني رياضي دان دراصل جاميٽريءَ جا عالم هئا ۽ ٽين صدي قبل مسيح جي وچ جو ديو فنطاس سڀ کان پهريون رياضي دان هو جنهن الجبرا تي تقريباً 275 ق. م ۾ هڪ ڪتاب تصنيف ڪيو. بابل ۽ يوناني اسڪولن جي خيالن قديم ھندوستان کي پڻ متاثر ڪيو ۽ اتي بہ علم رياضي جي ترقي ٿيڻ شروع ٿي.هندستان ۾ رياضي دانن ۾ برھما گپتا (پيدائش 598ع وفات 665ع)(628ع) جنھن ٻيو مول وارين مساواتن کي حل ڪيو، منفي انگن کي سمجھيو ۽ ٻڙي کي انگي خاصيت واري استعمال ۾ آندو ، مهـاويــرا (850ع) ۽ ڀاسڪرا (1150ع) (1114ع-1185ع) جنھن ٻڌايو تہ ھر مثبت انگ جا ٻہ ٻيا مول (square roots) ٿيندا آهن ۽ منفي عدد جو ٻيومول نہ ٿيندو آهي. انھن جي تصنيفن ۾ گهڻي تعداد ۾ اهڙا علمي سوال موجود آهن جيڪي الجبرائي طريقي سان حل ڪيا ويا آهن. اسلامي دنيا ۽ خاص طور تي بغداد ۾ خليفن جي زماني ۾ يونان ۽ هندستان جي عالمن جون رياضي بابت ڪاوشون گڏ ٿيون ۽ نتيجي طور الجبرا جي علم تي (588ع) ۾ محمد بن موسيٰ الخوارزمي ڪتاب لکيو ۽ 1100ع ۾ ”الڪرخي“ جا درسي ڪتاب مرتب ڪيا ويا. جديد الجبرا ڏي ھڪ اھم قدم 825ع ۾ بغداد ۾ کنيو ويو جڏهن ھڪ عرب رياضيدان محمد ابن موسیٰ الخوارزمي (780-850) مشھور ڪتاب حساب الجبر والمقابلا (Calculation by restoration and reduction) لکيو جنھن م پھريون دفعو واضع ۽ جامع طريقي سان الجبرائي مساواتن جي حل ڪرڻ جا طريقا ڏنا ويا. محمد بن موسيٰ الخوارزمي جي الجبرا جو يورپي رياضيات تي تمام گهڻو اثر پيو. الخوارزمي جي ان ڪتاب جو ھڪ اطالوي رياضيدان فبناچي (Fibonacci) (1175-1250) لاطيني ٻولي م ترجمو ڪيو. سنڌ ۾ پڻ رياضيءَ جي علم جا اهڃاڻ موهن جي دڙي مان انگن جي نظام جي صورت ۾ مليا آهن. انگريزن جي دور ۾ سنڌيءَ ۾ آلجبرا جا ڪتاب ڇپيا جيئن ”جبر ۽ مقابلو“ 1859ع ۾ ڇپيو جيڪو ديوان ننديرام جي پٽ ٿڌي مل ميراڻيءَ ترجمو ڪيو هو.