ٻٽو عددي نظام

ثقافت موجب عددي سرشتا
هندو-عربي عدد
اولهہ عربي; اوڀر عربي; خمير انگ	هندستاني خاندان; برهمي انگ; ٿائي انگ
اوڀر ايشيائي انگ
چيني انگ; سوجو انگ; ڳڻپ جون لٺيون	جاپاني انگ; ڪوريائي انگ
حرفي انگ
ابجد انگ; آرمينيائي انگ; سيريلي انگ; گئز انگ	عبراني انگ; يوناني انگ (آئيونيائي); آريه ڀٽا عددنگاري;
ٻيا سرشتا
اٽڪ انگ; بابلي انگ; قبطي انگ; مصري انگ; ايٽرسڪن انگ	مايا انگ; رومي انگ; ارن فيلڊ ثقافت جا انگ
	عددي سرشتن سان لاڳاپيل موضوعن جي فهرست
موقعي وارا سرشتا موجب بنياد
	عشري (10)
	2، 4، 8، 16، 32، 64
	1، 3، 9، 12، 20، 24، 30، 36، 60، وڌيڪ…
	م; ب; س;

ٻٽو عدد (Binary number) اهو عدد آهي، جيڪو ٻہ بنياد عددي سرشتي (بيس-2 نيومرل سسٽم) يا ٻٽي عددي نظام (بائنري نيومرل سسٽم) ۾ ظاهر ڪيو ويندو آهي. هي اهڙو طريقو آهي، جنهن ۾ قدرتي عددن کي ظاهر ڪرڻ لاءِ صرف ٻه نشان استعمال ٿيندا آهن: 0 (ٻڙي) ۽ 1 (هڪ). ثنائي عدد سان اهڙي ناطق عدد (ريشنل نمبر) جي به مراد ٿي سگهي ٿي، جنهن کي ثنائي عددي سرشتي ۾ محدود (فنيٽ) صورت ۾ ظاهر ڪري سگهجي، يعني اهڙو عدد جيڪو ڪنهن صحیح عدد کي ٻن جي ڪنهن قوت (ٻن جي قوت) تي ورهائڻ سان حاصل ٿئي.

ٻه بنياد عددي نظام هڪ موقعي واري لکت (پوزيشنل نوٽيشن) آهي، جنهن جو بنياد (ريڊڪس) 2 هوندو آهي. هن سرشتي ۾ هر عددي ڊجٽ کي بٽ (bit) يا ٻہ عددي ڊجٽ (بائنري ڊجٽ) چيو ويندو آهي. منطقي دروازن (لاجڪ گيٽس) تي ٻڌل ڊجيٽل برقي سرڪٽن ۾ ان جي سادي عملدرآمد سبب، ثنائي سرشتو تقريباً سڀني جديد ڪمپيوٽرن ۽ ڪمپيوٽر تي ٻڌل اوزارن ۾ استعمال ٿيندو آهي، ڇاڪاڻ⁠تہ هي ٻولي سادي آهي ۽ ان جي جسماني عملدرآمد ۾ شور کان بچاءُ جي صلاحيت وڌيڪ هوندي آهي.^[1]

ٻٽن انگن وارو نظام يا ٻہ انگي سرشتو يا انگن جو ڏونائي سرشتو (انگريزي: Binary number ) اهڙو سرشتو آھي، جنهن ۾ فقط ٻہ عدد يعني ٻُڙِي (0) ۽ هڪ (1) ٿين ٿا. تنهنڪري انهن انگن جو بنياد ٻہ يا ”ڏُون“ آهي. جيتوڻيڪ اهي انگ انسان لکي پڙهي ۽ سمجهي سگهي ٿو، مگر انسان لاءِ اهڙا انگ ڏهائي سرشتي جي انگن کان نسبتاَ تمام گهڻا ڏکيا آهن. اهڙا انگ ڪلُون يا مشينون، يعني ڪمپيوٽر آسانيءَ سان سمجهي سگهن ٿا. جيئن ڏهائي سرشتي ۾ ساڄي پاسي کان پهريون عدد ايڪا، ٻيون ڏهاڪا، ٽيون سَوَ، چوٿون هزار، وغيره وغيره ٿي ٿو، يعني 10 جِي سگهہ مطابق ملهہ رکي ٿو، تيئن ڏونائي يا ٻٽن انگن جو زيرو برابر ايڪا ھوندو آھي ۽ پوءِ پھريون ٻيڻي ، ٻيون چئوڻي، ٽيون اٺوڻي، چوٿون سورھونڻي، پنجون ٻٽيھونڻي سگھ جو ملھ رکي ٿو. مطلب تہ ٻڙي کي ڇڏي هر عدد پوئين عدد جي سگھ جي ٻيڻ واري سگهہ مطابق ملهہ رکي ٿو.

ٻٽن انگن جي ڳڻپ ۾ رڳو 0 ۽ 1 استعمال ٿيندا آهن. اھا ڏھائي واري عام طريقي جي ڳڻپ جي ڀيٽ ۾ ھيٺين طرح ڪئي ويندي آهي:

ڏھائي انگن واري ڳڻپ	ٻٽن انگن واري ڳڻپ
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111

انسائيڪلوپيڊيا سنڌيانا مطابق ٻه انگي سرشتو يا ٻن انگن وارو حسابي سرشتو اھڙو سرشتو آهي جنهن ۾ ٻڙي ۽ هڪ جو استعمال ٿئي ٿو. مثال طور ڪمپيوٽر جي ٻٽي، اعداد نظام ۾ 3 لکڻا آهن ته لکبو ”1100“ ڏهائي سرشتي لاءِ ”10“ جو استعمال ٿئي. مثال 25. 6 لکڻا آهن ته لکبو ”01. 110“ اڄ اسان جيڪو ڪمپيوٽر هلايون ٿا اهو ان ٻه انگي سرشتي ٿي هلي ٿو.^[2]

ٻٽن عددن جي نظام جي مدد سان گھٽ ۾ گھٽ 7 يا 8 ٻٽا انگ ملائڻ سان ڪمپيوٽر ٻوليءَ جو ھڪ حرف يا اکر يا علامت ٺاھيندو آھي ۽ انھن ٺھيل اکرن مان لفظ ٺھندا آھن. انگريزي لفظ وڪيپيڊيا ۾ انگريزي جا 9 اکر شامل آهن جيڪي: W-I-K-I-P-E-D-I-A آھن. ھيٺ مثال ۾ ٻٽن انگن جي گروپن مان انھن اکرن جو ٺھي لفظ وڪيپيڊيا ۾ تبديل ٿيڻ ڏيکاريل آھي:

تاريخ

جديد ٻٽي عددي سرشتي جو اڀياس يورپ ۾ پهريون ڀيرو 16هين ۽ 17هين صديءَ دوران ٿامس هيريئٽ ڪيو، جڏهن⁠تہ ڪجهه ڏهاڪن کان پوءِ گوٽفريڊ لائپنيٽز ان تي وڌيڪ ڪم ڪيو، جنهن کي هن سرشتي جي ايجاد جو اعزاز پڻ ڏنو ويندو آهي.^[3] تنهن هوندي به، ٻٽن عددن سان لاڳاپيل سرشتا ان کان اڳ به قديم مصر، چين، يورپ ۽ هندستان سميت ڪيترين ثقافتن ۾ موجود هئا، مثال طور فال ڪڍڻ لاءِ ٻٽي ڪُڻين جي استعمال سان لاڳاپيل طريقن ۾.^[4]

مصر

پڻ ڏسو: قديم مصري رياضيات

قديم مصر جا ڪاتب ڀاڱن لاءِ ٻه مختلف سرشتا استعمال ڪندا هئا: مصري ڀاڱا، جيڪي ٻٽي عددي سرشتي سان لاڳاپيل نه هئا، ۽ هورس جي اک جا ڀاڱا. پوئين سرشتي کي اهو نالو ان ڪري ڏنو ويو، جو رياضيءَ جي ڪجهه مؤرخن جو خيال هو ته ان ۾ استعمال ٿيندڙ نشانين کي هورس جي اک جي شڪل ٺاهڻ لاءِ ترتيب ڏئي سگهجي ٿو، جيتوڻيڪ هن راءِ تي اختلاف پڻ ڪيو ويو آهي.^[5]

هورس جي اک جا ڀاڱا اناج، مايع شين يا ٻين ماپن جي ڀاڱائي مقدار لاءِ ٻٽي ڳڻپ جو سرشتو هئا. هن سرشتي ۾ هڪ هيڪٽ جي ڪنهن ڀاڱي کي ¹⁄₂، ¹⁄₄، ¹⁄₈، ¹⁄₁₆، ¹⁄₃₂ ۽ ¹⁄₆₄ جهڙن ٻٽن ڀاڱن جي مجموعي طور ظاهر ڪيو ويندو هو. هن سرشتي جون شروعاتي صورتون مصر جي پنجين خاندان، تقريباً 2400 ق م، جي دستاويزن ۾ ملن ٿيون، جڏهن⁠تہ ان جي مڪمل ترقي يافته هيروگليفي صورت مصر جي اوڻيهين خاندان، تقريباً 1200 ق م، سان واسطو رکي ٿي.^[6]

قديم مصري ضرب ۾ استعمال ٿيندڙ طريقو پڻ ٻٽن عددن سان ويجهو لاڳاپو رکي ٿو. هن طريقي ۾ هڪ عدد کي ٻئي عدد سان ضرب ڪرڻ لاءِ مرحلن جو هڪ سلسلو اختيار ڪيو ويندو هو، جنهن ۾ ڪنهن قدر، جيڪو شروعات ۾ ٻن عددن مان پهريون عدد هوندو هو، کي يا ته ٻيڻو ڪيو ويندو هو يا ان ۾ پهريون عدد ٻيهر شامل ڪيو ويندو هو. اهي مرحلا ڪهڙي ترتيب سان ڪرڻا آهن، اهو ٻئي عدد جي ٻٽي اظهار مان طئي ٿيندو هو. هي طريقو مثال طور رائنڊ رياضي پيپرس ۾ ڏسي سگهجي ٿو، جيڪو تقريباً 1650 ق م جو آهي.^[7]

چين

چين ۾ آئي چنگ جو زمانو نائين صدي ق م تائين پهچي ٿو.^[8] آئي چنگ ۾ ٻٽي لکت کي ان جي چوٿائي فال ڪڍڻ واري طريقي جي تشريح لاءِ استعمال ڪيو ويندو هو.^[9]

اهو ين ۽ يانگ جي دائوي ٻٽوائي تصور تي ٻڌل آهي.^[10] اٺ ٽرائگرام ۽ 64 هيڪساگرام، جيڪي ترتيبوار ٽن بٽن ۽ ڇهن بٽن وارن ٻٽن عددن سان مشابهت رکن ٿا، گهٽ ۾ گهٽ قديم چين جي ژو خاندان جي دور کان استعمال ۾ هئا.^[8]

سونگ خاندان جي عالم شائو يونگ (1011–1077ع) هيڪساگرامن کي اهڙي صورت ۾ ٻيهر ترتيب ڏنو، جيڪا جديد ٻٽن عددن سان مشابهت رکي ٿي، جيتوڻيڪ سندس مقصد ان ترتيب کي رياضيائي استعمال لاءِ پيش ڪرڻ نه هو.^[9] شائو يونگ جي چورس ترتيب ۾ هر هڪ هيڪساگرام جي مٿان موجود گهٽ اهم بٽ کي ڏسندي،^[11] ۽ قطارن کي يا ته هيٺئين ساڄي پاسي کان مٿئين کاٻي پاسي پڙهندي، جتي سڌيون ليڪون 0 ۽ ٽٽل ليڪون 1 هجن، يا مٿئين کاٻي پاسي کان هيٺئين ساڄي پاسي پڙهندي، جتي سڌيون ليڪون 1 ۽ ٽٽل ليڪون 0 هجن، هيڪساگرامن کي 0 کان 63 تائين جي سلسلي طور سمجهي سگهجي ٿو.^[12]

قديم ڪلاسيڪي دور

اٽرسڪن ماڻهن فال ڪڍڻ لاءِ استعمال ٿيندڙ جگرن جي ٻاهرئين ڪناري کي سورهن حصن ۾ ورهايو هو. هر حصي تي ڪنهن ديوتا ۽ آسمان ۾ ان سان لاڳاپيل علائقي جو نالو لکيل هوندو هو. جگر جي هر حصي مان هڪ ٻٽو نتيجو حاصل ٿيندو هو، جنهن کي ٻين نتيجن سان گڏائي آخري فال تيار ڪئي ويندي هئي.^[13]

قديم يونان جي ڊوڊونا واري پيشگوئي مرڪز ۾ فال ڪڍڻ لاءِ جدا جدا ٿانون مان سوالن واريون تختيون ۽ "ها" يا "نه" وارا ڪنڪرا ڪڍيا ويندا هئا. پوءِ انهن نتيجن کي گڏ ڪري آخري پيشگوئي تيار ڪئي ويندي هئي.^[14]

هندستان

هندستاني عالم پنگلا، تقريباً ٻي صدي ق م، شاعراڻي وزن جي وضاحت لاءِ هڪ ٻٽو سرشتو تيار ڪيو.^[15]^[16] هن شاعراڻن وزنن کي ننڍين ۽ ڊگهن ماترائن جي صورت ۾ بيان ڪيو، جن مان ڊگهي ماترا ڊيگهه ۾ ٻن ننڍين ماترائن جي برابر هئي.^[17] انهن کي ترتيبوار لگهو، يعني هلڪي ماترا، ۽ گرو، يعني ڳري ماترا، چيو ويندو هو.

پنگلا جي هندو ڪلاسيڪي ڪتاب چندهه شاستر (8.23) ۾ هر وزن کي هڪ الڳ قدر ڏيڻ لاءِ هڪ ماترائي جدول ٺاهڻ جو طريقو بيان ٿيل آهي. سنسڪرت ۾ چندهه شاستر جي لفظي معنيٰ "وزنن جو علم" آهي. پنگلا جي سرشتي ۾ ٻٽو اظهار ساڄي پاسي وڌندو هو، جڏهن⁠تہ جديد موقعي واري لکت ۾ ٻٽا عدد کاٻي پاسي وڌندا آهن.^[18] پنگلا جي سرشتي ۾ ڳڻپ صفر بدران هڪ کان شروع ٿيندي هئي. چار ننڍيون ماترائون "0000" پهريون نمونو هيون ۽ انهن جو قدر هڪ هو. عددي قدر موقعي واري قيمتن جي مجموعي ۾ هڪ شامل ڪري حاصل ڪيو ويندو هو.^[19]

اولهه آفريڪا

اِفا اولهه آفريڪا جو هڪ فال ڪڍڻ وارو سرشتو آهي، جيڪو پراڻي اويو سلطنت جي يوروبا قبيلي ۾ مشهور هو. اهو آئي چنگ سان مشابهت رکي ٿو، پر آئي چنگ جي 64 نشانين جي ڀيٽ ۾ ان ۾ 256 تائين ٻٽيون نشانيون هونديون آهن.^[20] اهو عدد 16 جي چورس مان حاصل ٿئي ٿو ۽ اٺ بٽن واري سلسلي جي ڪل ممڪن ترتيبن جي برابر آهي. اِفا وسيلي فال ڪڍڻ ۾ اهي ممڪن نتيجا اودو سڏجن ٿا. اهي اودو هڪ اوپيلي زنجير وسيلي طئي ڪيا وڃن ٿا، جنهن ۾ اٺ ٻج هوندا آهن. هر ٻج ٻن مان ڪنهن هڪ حالت، کليل يا بند، ۾ ڪري سگهي ٿو، جنهن سان سڀ ممڪن ترتيبون ٺهن ٿيون. اِفا جو آغاز 15هين صديءَ ۾ اولهه آفريڪا جي يوروبا ماڻهن ۾ ٿيو. 2008ع ۾ يونيسڪو اِفا کي "انسانيت جي زباني ۽ غير مادي ورثي جي شاهڪارن" واري فهرست ۾ شامل ڪيو.^[21]^[22]

ٻيون ثقافتون

فرانسيسي پولينيشيا جي مانگاريوا ٻيٽ جا رهواسي 1450ع کان اڳ هڪ گڏيل ٻٽي-عشري سرشتو استعمال ڪندا هئا.^[23] آفريڪا ۽ ايشيا ۾ ٻٽن سُرن وارا چيريل ڍول پيغامن کي ڪوڊ ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيا ويندا هئا.^[10]

آئي چنگ جهڙيون ٻٽيون ترتيبون روايتي آفريڪي فال ڪڍڻ وارن سرشتن، جهڙوڪ اِفا، ۽ وچئين دور جي اولهه واري نقطي فال ۾ پڻ استعمال ٿينديون هيون. آسٽريليا جي گهڻين مقامي ٻولين ۾ بنياد-2 وارو سرشتو استعمال ٿيندو آهي.^[24]

لائپنيٽز کان اڳ اولهه جون ڪوششون

1605ع ۾ فرانسس بيڪن هڪ اهڙي سرشتي جو ذڪر ڪيو، جنهن ۾ الفابيٽ جي اکرن کي ٻٽن عددن جي سلسلن ۾ بدلائي سگهجي ٿو، ۽ پوءِ انهن سلسلن کي ڪنهن به متن ۾ اکرن جي شڪل جي تمام هلڪن ۽ مشڪل سان ڏسڻ ۾ ايندڙ فرقن وسيلي ڳجهي نموني لڪائي سگهجي ٿو.^[25] ٻٽي رمزنگاريءَ جي عام نظريي لاءِ اهم ڳالهه اها هئي ته بيڪن وڌيڪ چيو ته هي طريقو ڪنهن به اهڙين شين سان استعمال ڪري سگهجي ٿو، جيڪي رڳو ٻن هڪٻئي کان ڌار حالتن ۾ هجن: ”بشرطيڪ اهي شيون رڳو ٻٽي فرق جي لائق هجن؛ جيئن گهنڊن، بگلَن، روشنين ۽ مشعلن، بندوقن جي ٺڪائن، يا ساڳئي نوعيت جي ٻين اوزارن وسيلي.“^[25]

وڌيڪ ڏسو: بيڪن جو ڳجهو رمز

1617ع ۾ جان نيپيئر هڪ اهڙو سرشتو بيان ڪيو، جنهن کي هن هنڌي حساب جو نالو ڏنو. هن ۾ اکرن جي غير موقعي واري اظهار وسيلي ٻٽو حساب ڪيو ويندو هو. ٿامس هيريئٽ ٻٽي سرشتي سميت ڪيترن موقعي وارن عددي سرشتن جو اڀياس ڪيو، پر پنهنجا نتيجا شايع نه ڪيائين؛ اهي پوءِ سندس ڪاغذن مان هٿ آيا.^[26] ممڪن آهي ته يورپ ۾ هن سرشتي بابت پهرين اشاعت خوان ڪارامويل ي لوبڪووٽز 1700ع ۾ ڪئي هجي.^[27]

لائپنيٽز

لائپنيٽز ٻٽي سرشتي بابت هڪ سئو کان وڌيڪ مسودا لکيا، جن مان گهڻا اڻڇپيل رهيا.^[28] 1679ع ۾ ٻٽي سرشتي بابت پنهنجي پهرين مخصوص لکڻي کان اڳ پڻ سندس ڪيترن مسودن ۾ ٻٽن تصورن جي ابتدائي جاچ جا مثال ملن ٿا، جن ۾ عددن جون جدولون ۽ بنيادي حساب شامل هئا. اهي نوٽ اڪثر رياضيءَ سان اڻلاڳاپيل لکڻين جي حاشين تي لکيل هئا.^[28]

1679ع ۾ ٻٽي سرشتي بابت سندس پهرين ڄاتل لکڻي ٻٽي واڌ بابت ۾ لائپنيٽز عشري ۽ ٻٽي عددن جي وچ ۾ تبديليءَ جا طريقا بيان ڪيا. هن ٻٽن عددن سان جمع، ڪٽ، ضرب ۽ ونڊ جهڙن بنيادي حسابي عملن لاءِ قاعدا پڻ پيش ڪيا. ان کان سواءِ، هن ڇهن عددن واري عدد جو چورس ڳڻڻ ۽ چورس پاڙ ڪڍڻ لاءِ ٻٽي الجبرا جي هڪ صورت تيار ڪئي.^[28]

سندس سڀ کان مشهور ڪم 1703ع ۾ ڇپيل مقالي Explication de l'Arithmétique Binaire ۾ ملي ٿو. هن مقالي جي مڪمل عنوان جو انگريزي ترجمو هن ريت آهي: ٻٽي حساب جي وضاحت، جيڪو رڳو 1 ۽ 0 نشانن کي استعمال ڪري ٿو، ان جي فائدن بابت ڪجهه ويچارن ۽ انهن روشنين سميت، جيڪي اهو فو شي جي قديم چيني شڪلين تي وجهي ٿو.^[29] لائپنيٽز جو سرشتو جديد ٻٽي عددي سرشتي وانگر 0 ۽ 1 استعمال ڪري ٿو. سندس ٻٽي عددي سرشتي جو هڪ مثال هيٺ ڏجي ٿو:^[29]

0 0 0 1 عددي قدر 2⁰

0 0 1 0 عددي قدر 2¹

0 1 0 0 عددي قدر 2²

1 0 0 0 عددي قدر 2³

1700ع ۾ لائپنيٽز جي يسوعي پادري يواخيم بووي سان خط و ڪتابت ٿي، جيڪو چين ۾ تبليغي خدمتن دوران آئي چنگ جو ماهر بڻجي چڪو هو. لائپنيٽز کيس پنهنجي ٻٽي لکت جي وضاحت ڏني، جڏهن⁠تہ بووي 1701ع جي خطن ۾ ڏيکاريو ته آئي چنگ ۾ ٻٽي لکت جو هڪ آزاد ۽ متوازي نمونو اڳ ئي موجود هو. لائپنيٽز ۽ بووي ان لاڳاپي کي چيني فلسفياتي رياضي جي اهم ڪاميابيءَ جو ثبوت سمجهيو.^[30] لائپنيٽز پنهنجي ٻٽي حساب جي وضاحت ۾ هن متوازي ايجاد بابت لکيو ته ”ايتري ڊگهي عرصي کان پوءِ انهن نشانين جي معنيٰ جي هيءَ بحالي اڃا وڌيڪ حيرت انگيز لڳندي.“^[31]

هي لاڳاپو لائپنيٽز جي هڪ عالمگير ٻولي يا عالمگير علامتي ٻولي واري تصور جو مرڪزي حصو هو. اهو خيال پوءِ گوٽلوب فريگه ۽ جارج بول جهڙن سندس جانشينن ۾ پڻ مقبول ٿيو ۽ جديد علامتي منطق جي جوڙجڪ ۾ اهم ڪردار ادا ڪيائين.^[32]

لائپنيٽز کي آئي چنگ بابت پهريون ڀيرو فرانسيسي يسوعي يواخيم بووي معرفت ڄاڻ ملي، جيڪو 1685ع ۾ تبليغي مقصد سان چين ويو هو. لائپنيٽز آئي چنگ جي هيڪساگرامن کي هڪ مسيحي جي حيثيت ۾ پنهنجي مذهبي عقيدن جي عالمگيريت جي تصديق طور ڏٺو.^[33] ٻٽا عدد لائپنيٽز جي الاهي فڪر ۾ مرڪزي حيثيت رکندا هئا. سندس خيال هو ته اهي مسيحي تصور عدم مان تخليق جي علامت آهن.^[34]

اهڙو تصور، جيڪو غير مسيحن کي سمجهائڻ سولو ناهي، اهو خدا جي ڪامل قدرت سان عدم مان تخليق آهي. هاڻي اهو چئي سگهجي ٿو ته دنيا ۾ ٻي ڪا به شيءِ هن قدرت کي عددن جي ابتدا کان وڌيڪ چڱيءَ ريت ظاهر ۽ ثابت نٿي ڪري، جيئن هتي هڪ ۽ صفر يا عدم جي سادي ۽ بنا سينگار واري صورت ۾ ڏيکاريو ويو آهي.
— لائپنيٽز جو برنزوڪ جي ڊيوڪ ڏانهن خط، جنهن سان آئي چنگ جا هيڪساگرام پڻ شامل هئا^[33]

پوءِ جون اڳڀرايون

1854ع ۾ برطانوي رياضيدان جارج بول هڪ تاريخي اهميت وارو مقالو ڇپرايو، جنهن ۾ منطق جي هڪ الجبرائي سرشتي جي وضاحت ڪئي وئي، جيڪو پوءِ بولي الجبرا جي نالي سان مشهور ٿيو. سندس منطقي حساب ڊجيٽل برقي سرڪٽن جي جوڙجڪ ۾ بنيادي اهميت اختيار ڪئي.^[35]

1937ع ۾ ڪلاڊ شينن ميساچوسٽس انسٽيٽيوٽ آف ٽيڪنالاجي ۾ پنهنجي ماسٽر جي مقالي ۾ تاريخ ۾ پهريون ڀيرو برقي رلي ۽ سوئچ استعمال ڪندي بولي الجبرا ۽ ٻٽي حساب کي عملي صورت ڏني. رلي ۽ سوئچنگ سرڪٽن جو علامتي تجزيو نالي هن مقالي عملي ڊجيٽل سرڪٽ جي جوڙجڪ جو بنياد وڌو.^[36]

نومبر 1937ع ۾ جارج اسٽيبيٽز، جيڪو ان وقت بيل ليبارٽريز ۾ ڪم ڪندو هو، رلي تي ٻڌل هڪ ڪمپيوٽر مڪمل ڪيو، جنهن کي هن ”ماڊل ڪي“ نالو ڏنو. نالي ۾ ”ڪي“ سندس رڌڻي ڏانهن اشارو هو، جتي هن اهو اوزار گڏ ڪيو هو. هي ڪمپيوٽر ٻٽي جمع وسيلي حساب ڪندو هو.^[37]

1938ع جي پڇاڙيءَ ۾ بيل ليبارٽريز اسٽيبيٽز جي اڳواڻيءَ هيٺ هڪ مڪمل تحقيقي پروگرام منظور ڪيو. سندن مرڪب عدد ڪمپيوٽر 8 جنوري 1940ع تي مڪمل ٿيو ۽ مرڪب عددن تي حساب ڪري سگهندو هو. 11 سيپٽمبر 1940ع تي ڊارٽمائوٿ ڪاليج ۾ آمريڪي رياضياتي سوسائٽي جي گڏجاڻيءَ دوران اسٽيبيٽز ٽيليفون لائين وسيلي ٽيلي پرنٽر کان مرڪب عدد ڳڻپيندڙ ڏانهن پري کان حڪم موڪليا. اهو ٽيليفون لائين وسيلي پري کان استعمال ٿيندڙ دنيا جو پهريون حسابي اوزار هو. هن مظاهري جي شاهدن ۾ جان فون نيومن، جان ماڪلي ۽ نوربرٽ وينر شامل هئا، جن مان وينر بعد ۾ پنهنجي يادگيرين ۾ ان جو ذڪر ڪيو.^[38]^[39]^[40]

زيڊ 1 ڪمپيوٽر، جنهن کي ڪونراڊ زوزه 1935ع کان 1938ع جي وچ ۾ جوڙيو ۽ تيار ڪيو، بولي منطق ۽ ٻٽا سچل نقطي وارا عدد استعمال ڪندو هو.^[41]

ٻٽي سرشتي ۾ ڳڻپ

ٻٽي سرشتي ۾ ڳڻپ ڪرڻ جو طريقو ٻين عددي سرشتن وانگر ئي آهي. هڪ هنج کان شروعات ڪندي، هر هنج کي وڌندڙ ترتيب سان تبديل ڪيو ويندو آهي. ٻٽي يا ٻٽي ڳڻپ کي سمجهڻ کان اڳ، حوالو طور وڌيڪ مشهور ڏھائي سرشتي ۾ ڳڻپ تي مختصر نظر وجهڻ مفيد آهي.

ڏھائي سرشتي ۾ ڳڻپ

ڏھائي سرشتو ڏهن نشانين 0 کان 9 تائين استعمال ڪري ٿو. ڳڻپ سڀ کان گهٽ اهميت واري هنج (ساڄي پاسي واري عدد)، جنهن کي اڪثر پهريون ڊجٽ چيو ويندو آهي، کي وڌائڻ سان شروع ٿيندي آهي. جڏهن ان هنڌ تي موجود سڀئي نشانيون استعمال ٿي وڃن ٿيون، ته اهو عدد يا ھنج ٻيهر 0 ٿي وڃي ٿو ۽ ان جي کاٻي پاسي واري وڌيڪ اهم عدد ۾ هڪ واڌ (اوورفلو) ڪئي وڃي ٿي، جنهن کان پوءِ وري ساڄي پاسي واري عدد ۾ ڳڻپ جاري رهندي آهي. اهو عمل هر وڌيڪ اهم عدد لاءِ ورجايو ويندو آهي.

ڳڻپ هن ريت اڳتي وڌندي آهي:

000، 001، 002، ... 007، 008، 009، (ساڄي پاسي وارو عدد ٻيهر ٻڙي يا صفر ٿئي ٿو ۽ ان جي کاٻي پاسي وارو عدد هڪ وڌي وڃي ٿو)

010، 011، 012، ...

...

090، 091، 092، ... 097، 098، 099، (ساڄي پاسي جا ٻئي عدد ٻيهر ٻڙي ٿين ٿا ۽ ايندڙ عدد هڪ وڌي وڃي ٿو)

100، 101، 102، ...

ٻٽي سرشتي ۾ ڳڻپ

ٻٽي سرشتي ۾ ڳڻپ به ساڳئي اصول تي ٻڌل آهي. هتي به واڌ سڀ کان گهٽ اهميت واري ٻٽي عدد، يعني بٽ (ساڄي پاسي وارو يا پهريون بٽ)، کان شروع ٿيندي آهي، پر هتي رڳو ٻه نشانيون 0 ۽ 1 موجود هونديون آهن. تنهنڪري جڏهن ڪنهن بٽ جي قيمت 1 تائين پهچي ٿي، ته ايندڙ واڌ سان اهو ٻيهر 0 ٿي وڃي ٿو ۽ ساڳئي وقت ان جي کاٻي پاسي وارو بٽ هڪ وڌي وڃي ٿو:

0000،

0001، (ساڄي پاسي وارو بٽ ٻيهر شروع ٿئي ٿو ۽ ايندڙ بٽ هڪ وڌي وڃي ٿو)

0010، 0011، (ساڄي پاسي جا ٻئي بٽ ٻيهر شروع ٿين ٿا ۽ ايندڙ بٽ هڪ وڌي وڃي ٿو)

0100، 0101، 0110، 0111، (ساڄي پاسي جا ٽي بٽ ٻيهر شروع ٿين ٿا ۽ ايندڙ بٽ هڪ وڌي وڃي ٿو)

1000، 1001، 1010، 1011، 1100، 1101، 1110، 1111 ...

ٻٽي سرشتي ۾ هر بٽ، 2 جي وڌندڙ قوت جي نمائندگي ڪندو آهي. سڀ کان ساڄي پاسي وارو بٽ 2⁰، ان کان کاٻي وارو 2¹، پوءِ 2²، ۽ اهڙي طرح اڳتي وڌندو آهي. ڪنهن ٻٽي عدد جي قيمت انهن سڀني قوتن جي مجموعي جي برابر هوندي آهي، جن جي لاڳاپيل بٽن جي قيمت 1 هجي.

مثال طور، ٻٽي عدد 100101 کي ڏھائي صورت ۾ هن ريت تبديل ڪيو وڃي ٿو:

100101₂ = [ ( 1 ) × 2⁵ ] + [ ( 0 ) × 2⁴ ] + [ ( 0 ) × 2³ ] + [ ( 1 ) × 2² ] + [ ( 0 ) × 2¹ ] + [ ( 1 ) × 2⁰ ]

100101₂ = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]

100101₂ = 37₁₀

ٻٽو حساب

ٻٽن عددن ۾ حساب جو طريقو ٻين عددي سرشتن جي موقعي واري لکت ۾ ٿيندڙ حساب سان گهڻو مشابهت رکي ٿو. ٻٽن عددن تي جمع، ڪٽ، ضرب ۽ ونڊ ڪري سگهجي ٿي.

جمع

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو جمع ڪندڙ (برقيات)

ٻٽي سرشتي ۾ سڀ کان سادو حسابي عمل جمع آهي. ٻن هڪ-عددي ٻٽن عددن کي جمع ڪرڻ نسبتاً سولو آهي ۽ ان ۾ اڳتي کڻڻ جو طريقو استعمال ٿيندو آهي:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0، اڳتي 1 کڻو (ڇاڪاڻ⁠تہ 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

ٻن 1 عددن کي جمع ڪرڻ سان 0 لکبو آهي، جڏهن⁠تہ 1 کي ايندڙ خاني ۾ شامل ڪرڻ لاءِ اڳتي کنيو ويندو آهي. اهو عمل عشري سرشتي ۾ ٿيندڙ جمع سان مشابهت رکي ٿو؛ جڏهن ٻن هڪ-عددي انگن جو مجموعو بنياد، يعني 10، جي برابر يا ان کان وڌيڪ ٿئي، ته کاٻي پاسي واري عدد ۾ هڪ واڌ ڪئي ويندي آهي:

5 + 5 → 0، اڳتي 1 کڻو (ڇاڪاڻ⁠تہ 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6، اڳتي 1 کڻو (ڇاڪاڻ⁠تہ 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

هن عمل کي اڳتي کڻڻ چيو ويندو آهي. جڏهن جمع جو نتيجو ڪنهن هڪ عدد جي ممڪن قيمت کان وڌي وڃي، ته واڌو مقدار کي عددي سرشتي جي بنياد سان ورهائي کاٻي پاسي واري خاني ڏانهن منتقل ڪيو ويندو آهي ۽ ان کي ايندڙ موقعي واري قيمت ۾ شامل ڪيو ويندو آهي. اهو صحيح آهي، ڇاڪاڻ⁠تہ ايندڙ خاني جي وزن ۾ بنياد جيترو واڌارو هوندو آهي. ٻٽي سرشتي ۾ پڻ اڳتي کڻڻ ساڳيءَ ريت ڪم ڪري ٿو:

  1 1 1 1 1    (اڳتي کنيل عدد)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
-------------
= 1 0 0 1 0 0 = 36

هن مثال ۾ ٻه عدد، 01101₂ يعني 13₁₀، ۽ 10111₂ يعني 23₁₀، پاڻ ۾ جمع ڪيا ويا آهن. مٿين قطار اڳتي کنيل بٽ ڏيکاري ٿي. سڀ کان ساڄي پاسي واري خاني کان شروع ڪندي، 1 + 1 = 10₂. ان مان 1 کاٻي پاسي کنيو وڃي ٿو ۽ 0 ساڄي پاسي واري خاني جي هيٺان لکيو وڃي ٿو. ساڄي پاسي کان ٻئي خاني ۾ 1 + 0 + 1 = 10₂ ٿئي ٿو؛ وري 1 اڳتي کنيو وڃي ٿو ۽ 0 هيٺ لکيو وڃي ٿو. ٽئين خاني ۾ 1 + 1 + 1 = 11₂ ٿئي ٿو. هن ڀيري 1 اڳتي کنيو وڃي ٿو ۽ 1 هيٺين قطار ۾ لکيو وڃي ٿو. اهڙيءَ طرح اڳتي وڌڻ سان آخري جواب 100100₂ يعني 36₁₀ ملي ٿو.

جڏهن ڪمپيوٽرن کي ٻن عددن کي جمع ڪرڻو پوي ٿو، ته هي قاعدو پڻ تيز ڳڻپ جي اجازت ڏئي ٿو:

x اڪس-يا y = (x + y) باقي 2

جتي x ۽ y ٻه بٽ آهن.

ڊگهي اڳتي کڻڻ جو طريقو

ٻٽي جمع جي ڪيترن سوالن لاءِ هڪ سادو طريقو ڊگهي اڳتي کڻڻ جو طريقو يا بروڪ هائوس ٻٽي جمع جو طريقو آهي. هي طريقو خاص طور تڏهن ڪارائتو هوندو آهي، جڏهن ڪنهن عدد ۾ لڳاتار ڪيترائي 1 موجود هجن. هن جو بنيادي اصول اهو آهي ته ٻٽي سرشتي ۾ n عددن تي مشتمل لڳاتار 1ن جي قطار ۾ 1 شامل ڪرڻ سان هڪ 1 ۽ ان کان پوءِ n صفر حاصل ٿيندا آهن. اهو ئي اصول عشري سرشتي ۾ n لڳاتار 9ن ۾ 1 جمع ڪرڻ سان لاڳو ٿئي ٿو:

     ٻٽو                           عشري
    1 1 1 1 1                    9 9 9 9 9
 +          1                 +          1
  ———————————                  ———————————
  1 0 0 0 0 0                  1 0 0 0 0 0

ٻٽي سرشتي ۾ اهڙيون ڊگهيون قطارون عام آهن. تنهنڪري وڏن ٻٽن عددن کي گهڻن اڳتي کڻڻ وارن مرحلن کانسواءِ ٻن سادن قدمن ۾ جمع ڪري سگهجي ٿو. هيٺين مثال ۾ 1110111110₂ يعني 958₁₀ ۽ 1010110011₂ يعني 691₁₀ کي کاٻي پاسي روايتي اڳتي کڻڻ واري طريقي سان، ۽ ساڄي پاسي ڊگهي اڳتي کڻڻ واري طريقي سان، جمع ڪيو ويو آهي:

روايتي اڳتي کڻڻ وارو طريقو              ڊگهي اڳتي کڻڻ وارو طريقو
                                بمقابله
  1 1 1   1 1 1 1 1      (اڳتي کنيل عدد)   1 ←     1 ←
    1 1 1 0 1 1 1 1 1 0                       1 1 1 0 1 1 1 1 1 0
+   1 0 1 0 1 1 0 0 1 1                   +   1 0 1 0 1 1 0 0 1 1
———————————————————————                    ——————————————————————
= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1                     1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

مٿين قطار اڳتي کنيل بٽ ڏيکاري ٿي. هڪ خاني کان ٻئي خاني تائين روايتي نموني اڳتي کڻڻ بدران، هيٺين ساڳئي موقعي واري خاني ۾ 1 سان ملندڙ سڀ کان گهٽ درجي واري 1 کي جمع ڪيو وڃي ٿو، ۽ هڪ 1 کي لڳاتار قطار جي پڄاڻيءَ کان هڪ خانو اڳتي کنيو وڃي ٿو. جيڪي عدد استعمال ٿي چڪا هجن، تن کي ليڪ ڏئي ختم ڪيو وڃي ٿو، ڇاڪاڻ⁠تہ اهي اڳ ۾ ئي جمع ٿي چڪا آهن. ساڳئي طريقي سان ٻين ڊگهن قطارن کي به ختم ڪري سگهجي ٿو. پوءِ باقي عددن کي عام طريقي سان جمع ڪيو وڃي ٿو.

اهڙي عمل سان آخري جواب 11001110001₂ يعني 1649₁₀ ملي ٿو. هن ننڍڙي مثال ۾ روايتي طريقي کي اٺ اڳتي کڻڻ وارا مرحلا گهربل هئا، جڏهن⁠تہ ڊگهي اڳتي کڻڻ واري طريقي ۾ فقط ٻه مرحلا گهربل ٿيا.

جمع جي جدول

	0	1
0	0	1
1	1	10

ٻٽي جمع جي جدول منطقي يا واري عمل $\lor$ جي سچائي جدول سان مشابهت رکي ٿي، پر بلڪل ساڳي ناهي. فرق اهو آهي ته $1\lor 1=1$ ، جڏهن⁠تہ $1+1=10$ .

ڪٽ

وڌيڪ ڏسو: نشان وارو عددي اظهار ۽ ٻن جو پورائو

ڪٽ جو عمل به گهڻو ڪري ساڳئي نموني ڪم ڪري ٿو:

0 − 0 → 0

0 − 1 → 1، 1 اوڌر وٺو

1 − 0 → 1

1 − 1 → 0

0 مان 1 ڪٽڻ سان 1 لکيو وڃي ٿو، پر ايندڙ کاٻي خاني مان 1 اوڌر وٺڻو پوي ٿو. هن عمل کي اوڌر وٺڻ چيو ويندو آهي. اصول اڳتي کڻڻ جهڙو ئي آهي. جڏهن ڪٽ جو نتيجو صفر کان گهٽ ٿئي، ته کوٽ کي عددي سرشتي جي بنياد سان ورهائي کاٻي پاسي واري خاني مان اوڌر ورتو وڃي ٿو ۽ ان کي ايندڙ موقعي واري قيمت مان ڪٽيو وڃي ٿو.

    *   * * *   (تارن وارن خانن مان اوڌر ورتو ويو آهي)
  1 1 0 1 1 1 0
−     1 0 1 1 1
----------------
= 1 0 1 0 1 1 1

  *             (تارن واري خاني مان اوڌر ورتو ويو آهي)
  1 0 1 1 1 1 1
–   1 0 1 0 1 1
----------------
= 0 1 1 0 1 0 0

ڪنهن مثبت عدد کي ڪٽڻ، ساڳئي مطلق قدر واري ناڪاري عدد کي جمع ڪرڻ جي برابر آهي. ڪمپيوٽر ناڪاري عددن کي سنڀالڻ لاءِ نشان وارو عددي اظهار استعمال ڪندا آهن، جن مان سڀ کان عام ٻن جو پورائو آهي. اهڙن اظهارَن سان الڳ ڪٽ واري عمل جي ضرورت ختم ٿي وڃي ٿي. ٻن جي پورائي ۾ ڪٽ کي هن فارمولي سان بيان ڪري سگهجي ٿو:

A - B = A + not B + 1

ضرب

ٻٽي سرشتي ۾ ضرب عشري ضرب سان مشابهت رکي ٿي. ٻن عددن A ۽ B کي جزوي حاصلن وسيلي ضرب ڪري سگهجي ٿو. B جي هر عدد لاءِ ان عدد ۽ A جو حاصل ڳڻيو وڃي ٿو ۽ نئين قطار ۾ لکيو وڃي ٿو. هر قطار کي ايترو کاٻي پاسي سرڪايو وڃي ٿو، جو ان جو ساڄو عدد B جي استعمال ڪيل عدد سان هڪ قطار ۾ اچي. سڀني جزوي حاصلن جو مجموعو آخري جواب ڏئي ٿو.

ڇاڪاڻ⁠تہ ٻٽي سرشتي ۾ فقط ٻه عدد آهن، تنهنڪري هر جزوي ضرب جا رڳو ٻه ممڪن نتيجا آهن:

جيڪڏهن B جو عدد 0 هجي، ته جزوي حاصل به 0 هوندو.
جيڪڏهن B جو عدد 1 هجي، ته جزوي حاصل A جي برابر هوندو.

مثال طور، ٻٽن عددن 1011 ۽ 1010 کي هن ريت ضرب ڪيو وڃي ٿو:

           1 0 1 1   (A)
         × 1 0 1 0   (B)
         ---------
           0 0 0 0   ← B جي ساڄي پاسي واري صفر لاءِ
   +     1 0 1 1     ← B جي ايندڙ هڪ لاءِ
   +   0 0 0 0
   + 1 0 1 1
   ---------------
   = 1 1 0 1 1 1 0

ٻٽن عددن کي ٻٽي نقطي کان پوءِ موجود بٽن سميت پڻ ضرب ڪري سگهجي ٿو:

               1 0 1 . 1 0 1     A (عشري سرشتي ۾ 5.625)
             × 1 1 0 . 0 1       B (عشري سرشتي ۾ 6.25)
             -------------------
                   1 . 0 1 1 0 1   ← B جي هڪ لاءِ
     +           0 0 . 0 0 0 0     ← B جي صفر لاءِ
     +         0 0 0 . 0 0 0
     +       1 0 1 1 . 0 1
     +     1 0 1 1 0 . 1
     ---------------------------
     =   1 0 0 0 1 1 . 0 0 1 0 1 (عشري سرشتي ۾ 35.15625)

پڻ ڏسو: بوٿ جو ضرب وارو قاعدو.

ضرب جي جدول

	0	1
0	0	0
1	0	1

ٻٽي ضرب جي جدول منطقي ۽ واري عمل $\land$ جي سچائي جدول جي برابر آهي.

ونڊ

پڻ ڏسو: ونڊ جو قاعدو#باقي سميت صحيح عددي ونڊ

ٻٽي سرشتي ۾ ڊگهي ونڊ پڻ عشري سرشتي واري ڊگهي ونڊ سان مشابهت رکي ٿي.

هيٺين مثال ۾ ورهائيندڙ 101₂، يعني عشري سرشتي ۾ 5، آهي، جڏهن⁠تہ ورهائجندڙ 11011₂، يعني عشري سرشتي ۾ 27، آهي. طريقو عشري ڊگهي ونڊ جهڙو آهي. هتي ورهائيندڙ 101₂، ورهائجندڙ جي پهرين ٽن عددن 110₂ ۾ هڪ ڀيرو اچي ٿو، تنهنڪري مٿين قطار ۾ 1 لکيو وڃي ٿو. پوءِ هن نتيجي کي ورهائيندڙ سان ضرب ڪري، ورهائجندڙ جي پهرين ٽن عددن مان ڪٽيو وڃي ٿو. ان کان پوءِ ايندڙ عدد 1 کي هيٺ لاٿو وڃي ٿو ته جيئن نئون ٽن-عددي سلسلو ٺهي:

              1
        ___________
1 0 1   ) 1 1 0 1 1
        − 1 0 1
          -----
          0 0 1

پوءِ ساڳيو عمل نئين سلسلي سان ورجايو وڃي ٿو ۽ ورهائجندڙ جا سڀ عدد ختم ٿيڻ تائين جاري رهي ٿو:

             1 0 1
       ___________
1 0 1  ) 1 1 0 1 1
       − 1 0 1
         -----
             1 1 1
         −   1 0 1
             -----
             0 1 0

تنهنڪري 11011₂ کي 101₂ سان ورهائڻ جو حاصل ونڊ 101₂ آهي، جيڪو مٿين قطار ۾ ڏيکاريل آهي، جڏهن⁠تہ هيٺين قطار ۾ ڏيکاريل باقي 10₂ آهي. عشري سرشتي ۾ اهو 27 کي 5 سان ورهائڻ جي برابر آهي، جنهن جو حاصل 5 ۽ باقي 2 آهي.

ڊگهي ونڊ کانسواءِ اهڙا طريقا پڻ ترتيب ڏئي سگهجن ٿا، جن ۾ هر مرحلي تي جزوي باقي مان ضرورت کان وڌيڪ ڪٽ ڪيو وڃي. اهڙا طريقا گهٽ باقاعده، پر وڌيڪ لچڪدار هوندا آهن.

چورس پاڙ (اسڪوائر روٽ)

ٻٽي چورس پاڙ عدد بہ عدد ڪڍڻ جو عمل بنيادي طور عشري چورس پاڙ جهڙو آهي، پر ٻٽي سرشتي سبب گهڻو سادو آهي. پهرين عددن کي ساڄي پاسي کان جوڙن ۾ ورهايو وڃي. جيڪڏهن عددن جو تعداد اڻپورو هجي، ته شروع ۾ هڪ صفر وڌو وڃي. پوءِ هر مرحلي تي هيل تائين حاصل ٿيل جواب کي 01 سان وڌائي ڏٺو وڃي ٿو. جيڪڏهن اهو موجوده باقي مان ڪٽي سگهجي، ته ڪٽ ڪيو وڃي. پوءِ باقي سان ايندڙ عددي جوڙو شامل ڪيو وڃي. جيڪڏهن ڪٽ ٿيو هجي ته جواب جو ايندڙ عدد 1، ٻي حالت ۾ 0 هوندو.

                             1                          1  1                       1  1  0                   1  1  0  1
 -------------             -------------              -------------              -------------             -------------
√ 10 10 10 01             √ 10 10 10 01              √ 10 10 10 01              √ 10 10 10 01             √ 10 10 10 01
                           - 1                        - 1                        - 1                       - 1
                           ----                       ----                       ----                      ----
                             1 10                       1 10                       1 10                      1 10
                                                       - 1 01                     - 1 01                    - 1 01
                                                       -------                    -------                   -------
                                                            1 10                       1 10 01                   1 10 01
                                                                                                               - 1 10 01
                                                                                                                 ----------
                                                                                                                        0

پهرين مرحلي ۾ هيل تائين جواب 0 آهي. ان کي 01 سان وڌائڻ سان 001 ملي ٿو، جيڪو پهرين جوڙي 10 مان ڪٽي سگهجي ٿو؛ تنهنڪري جواب جو پهريون عدد 1 آهي.

ٻئي مرحلي ۾ هيل تائين جواب 1 آهي. ان کي 01 سان وڌائڻ سان 101 ملي ٿو، جيڪو باقي 110 مان ڪٽي سگهجي ٿو؛ تنهنڪري جواب جو ايندڙ عدد پڻ 1 آهي.

ٽئين مرحلي ۾ هيل تائين جواب 11 آهي. ان کي 01 سان وڌائڻ سان 1101 ملي ٿو، جيڪو باقي 110 مان ڪٽڻ لاءِ تمام وڏو آهي؛ تنهنڪري جواب جو ايندڙ عدد 0 آهي.

چوٿين مرحلي ۾ هيل تائين جواب 110 آهي. ان کي 01 سان وڌائڻ سان 11001 ملي ٿو، جيڪو باقي 11001 مان ڪٽي سگهجي ٿو؛ تنهنڪري جواب جو ايندڙ عدد 1 آهي. اهڙيءَ طرح آخري جواب 1101 حاصل ٿئي ٿو.

ڀاڱا

ٻٽي حساب ۾ ڪنهن ڀاڱي جي ٻٽي توسيع رڳو تڏهن ختم ٿيندي آهي، جڏهن ان جو مخرج 2 جي ڪنهن قوت جي برابر هجي. تنهنڪري 1/10 جي ڪا محدود ٻٽي صورت ناهي، ڇاڪاڻ⁠تہ 10 جا اولي جزا 2 ۽ 5 آهن. انهيءَ سبب ٻٽي سچل نقطي واري حساب ۾ 10 × 1/10 جو نتيجو بلڪل 1 جي برابر نه ٿي سگهي ٿو.

مثال طور، 1/3 جي ٻٽي توسيع .010101... آهي، جنهن جو مطلب آهي:

{\frac {1}{3}}=0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+0\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}+\cdots .

ٻن جي ابتڙ قوتن جي محدود مجموعي وسيلي ان جي بلڪل صحيح قيمت حاصل نٿي ڪري سگهجي، ڇاڪاڻ⁠تہ 1/3 جي ٻٽي صورت ۾ صفر ۽ هڪ سدائين واري واري سان ورجندا رهن ٿا.

ڀاڱو	عشري	ٻٽو	ڀاڱائي ويجهو قدر
1/1	1 يا 0.999...	1 يا 0.1	1/2 + 1/4 + 1/8...
1/2	0.5 يا 0.4999...	0.1 يا 0.01	1/4 + 1/8 + 1/16...
1/3	0.333...	0.01	1/4 + 1/16 + 1/64...
1/4	0.25 يا 0.24999...	0.01 يا 0.001	1/8 + 1/16 + 1/32...
1/5	0.2 يا 0.1999...	0.0011	1/8 + 1/16 + 1/128...
1/6	0.1666...	0.001	1/8 + 1/32 + 1/128...
1/7	0.142857142857...	0.001	1/8 + 1/64 + 1/512...
1/8	0.125 يا 0.124999...	0.001 يا 0.0001	1/16 + 1/32 + 1/64...
1/9	0.111...	0.000111	1/16 + 1/32 + 1/64...
1/10	0.1 يا 0.0999...	0.00011	1/16 + 1/32 + 1/256...
1/11	0.090909...	0.0001011101	1/16 + 1/64 + 1/128...
1/12	0.08333...	0.0001	1/16 + 1/64 + 1/256...
1/13	0.076923076923...	0.000100111011	1/16 + 1/128 + 1/256...
1/14	0.0714285714285...	0.0001	1/16 + 1/128 + 1/1024...
1/15	0.0666...	0.0001	1/16 + 1/256...
1/16	0.0625 يا 0.0624999...	0.0001 يا 0.00001	1/32 + 1/64 + 1/128...

بٽ وار عمل

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو بٽ وار عمل

جيتوڻيڪ هي عمل ٻٽن نشانين جي عددي معنيٰ سان سڌيءَ طرح لاڳاپيل نه آهن، پر بٽن جي سلسلن کي بولي منطقي عملگرن وسيلي بدلائي سگهجي ٿو. جڏهن ٻٽن نشانين جي ڪنهن سلسلي تي هن طريقي سان عمل ڪيو وڃي، ته ان کي بٽ وار عمل چيو ويندو آهي.

۽، يا ۽ خاص يا جهڙا منطقي عمل ٻن ڏنل ٻٽن عددن جي هڪجهڙن هنڌن تي موجود بٽن تي لاڳو ڪري سگهجن ٿا. جڏهن⁠تہ نه وارو عمل ڪنهن هڪ ڏنل ٻٽي عدد جي هر بٽ تي الڳ الڳ ڪري سگهجي ٿو.

ڪڏهن ڪڏهن اهڙا عمل حسابي مختصر طريقن طور استعمال ٿيندا آهن ۽ ڳڻپ جي ڪارڪردگيءَ جا ٻيا فائدا پڻ ڏيندا آهن. مثال طور، ڪنهن ٻٽي عدد کي کاٻي پاسي حسابي سرڪاءُ ڏيڻ، ان عدد کي 2 جي ڪنهن مثبت صحيح قوت سان ضرب ڪرڻ جي برابر آهي.

ٻين عددي سرشتن ڏانهن ۽ انهن مان تبديلي

ڏھائي کان ٻٽي لکت

(357)₁₀ کي ٻٽي لکت ۾ بدلائڻ سان (101100101)₂ حاصل ٿئي ٿو

بنياد-10 واري صحیح عدد کي ان جي بنياد-2، يعني ٻٽي، برابر ۾ بدلائڻ لاءِ عدد کي ٻن سان ونڊ ڪيو ويندو آهي. حاصل ٿيل باقي گهٽ اهم بٽ هوندو آهي. پوءِ حاصل ونڊ کي ٻيهر ٻن سان ورهايو ويندو آهي، ۽ ان جو باقي ايندڙ گهٽ اهم بٽ بڻجي ٿو. اهو عمل تيستائين ورجايو ويندو آهي، جيستائين حاصل ونڊ هڪ نه ٿي وڃي. باقيات جو سلسلو، آخري حاصل ونڊ 1 سميت، ٻٽي قدر ٺاهي ٿو، ڇاڪاڻ⁠تہ ٻن سان ونڊ ڪرڻ وقت هر باقي يا ته صفر يا هڪ هوندو آهي. مثال طور، (357)₁₀ کي (101100101)₂ طور ظاهر ڪيو وڃي ٿو.^[42]

ٻٽي کان ڏھائي واري لکت

بنياد-2 کان بنياد-10 ۾ تبديلي اڳئين قاعدي جو ابتڙ عمل آهي. ٻٽي عدد جا بٽ هڪ هڪ ڪري، سڀ کان وڌيڪ اهم، يعني کاٻي پاسي واري بٽ، کان شروع ڪري استعمال ڪيا وڃن ٿا. شروعاتي قدر 0 رکيو وڃي ٿو، پوءِ اڳئين قدر کي ٻيڻو ڪري ان ۾ ايندڙ بٽ شامل ڪيو وڃي ٿو، جنهن سان نئون قدر حاصل ٿئي ٿو. هن عمل کي گهڻن خانن واري جدول ۾ ترتيب ڏئي سگهجي ٿو. مثال طور، 10010101101₂ کي ڏھاڪي ۾ بدلائڻ لاءِ:

اڳيون قدر	× 2 +	ايندڙ بٽ	= نئون قدر
0	× 2 +	1	= 1
1	× 2 +	0	= 2
2	× 2 +	0	= 4
4	× 2 +	1	= 9
9	× 2 +	0	= 18
18	× 2 +	1	= 37
37	× 2 +	0	= 74
74	× 2 +	1	= 149
149	× 2 +	1	= 299
299	× 2 +	0	= 598
598	× 2 +	1	= 1197

نتيجو 1197₁₀ آهي. پهريون اڳيون قدر 0 رڳو شروعاتي ڏھائي قدر آهي. هي طريقو هورنر جو طريقو لاڳو ڪري ٿو.

ٻٽو	1	0	0	1	0	1	0	1	1	0	1
ڏھائي	1×2¹⁰ +	0×2⁹ +	0×2⁸ +	1×2⁷ +	0×2⁶ +	1×2⁵ +	0×2⁴ +	1×2³ +	1×2² +	0×2¹ +	1×2⁰ =	1197

ڪنهن عدد جي ڀاڱائي حصن کي پڻ ساڳين طريقن سان تبديل ڪيو ويندو آهي. اهي طريقا وري عدد کي ٻيڻو يا اڌ ڪرڻ سان موقعي واري سرڪاءَ جي برابريءَ تي ٻڌل آهن.

0.11010110101₂ جهڙي ڀاڱائي ٻٽي عدد ۾ پهريون عدد ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ، ٻيو عدد ${\textstyle ({\frac {1}{2}})^{2}={\frac {1}{4}}}$ ، ۽ اهڙيءَ طرح اڳتي هوندو آهي. تنهنڪري جيڪڏهن ڏھاڪي واري نقطي کان پوءِ پهرين هنڌ تي 1 هجي، ته عدد گهٽ ۾ گهٽ ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ هوندو، ۽ ابتڙ حالت ۾ ائين نه هوندو. اهڙي عدد کي ٻيڻو ڪرڻ سان نتيجو گهٽ ۾ گهٽ 1 ٿيندو. ان مان هي قاعدو نڪري ٿو: بدلائڻ واري عدد کي بار بار ٻيڻو ڪيو وڃي، نوٽ ڪيو وڃي ته نتيجو 1 جي برابر يا ان کان وڌيڪ آهي يا نه، ۽ پوءِ صحيح عددي حصو هٽايو وڃي.

مثال طور، ${\textstyle ({\frac {1}{3}})_{10}}$ جي ٻٽي صورت هن ريت آهي:

تبديلي	نتيجو
${\textstyle {\frac {1}{3}}}$	0.
${\textstyle {\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1}$	0.0
${\textstyle {\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1}$	0.01
${\textstyle {\frac {1}{3}}\times 2={\frac {2}{3}}<1}$	0.010
${\textstyle {\frac {2}{3}}\times 2=1{\frac {1}{3}}\geq 1}$	0.0101

تنهنڪري ورجندڙ ڏھائي وارو ڀاڱو 0.3... ورجندڙ ٻٽي ڀاڱي 0.01... جي برابر آهي.

ٻئي مثال طور، 0.1₁₀ جي ٻٽي صورت هن ريت آهي:

تبديلي	نتيجو
0.1	0.
0.1 × 2 = 0.2 < 1	0.0
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.00
0.4 × 2 = 0.8 < 1	0.000
0.8 × 2 = 1.6 ≥ 1	0.0001
0.6 × 2 = 1.2 ≥ 1	0.00011
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.000110
0.4 × 2 = 0.8 < 1	0.0001100
0.8 × 2 = 1.6 ≥ 1	0.00011001
0.6 × 2 = 1.2 ≥ 1	0.000110011
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.0001100110

هي پڻ ورجندڙ ٻٽي ڀاڱو 0.00011... آهي. اها ڳالهه حيرت انگيز لڳي سگهي ٿي ته ختم ٿيندڙ ڏھائي ڀاڱن جي ٻٽي توسيع ورجندڙ ٿي سگهي ٿي. انهيءَ سبب ڪيترن ماڻهن کي اهو ڏسي حيرت ٿيندي آهي ته 1/10 + ... + 1/10، يعني ڏهن 1/10 عددن جو مجموعو، ٻٽي سچل نقطي واري حساب ۾ بلڪل 1 جي برابر نه هوندو آهي. حقيقت ۾ رڳو اهي ٻٽا ڀاڱا ختم ٿيندڙ توسيع رکن ٿا، جيڪي ڪنهن صحیح عدد کي 2 جي ڪنهن قوت سان ورهائڻ جي صورت ۾ هجن؛ 1/10 اهڙي صورت ۾ ناهي.

آخري تبديلي ٻٽي ڀاڱن کان ڏھائي واري ڀاڱن ڏانهن آهي. رڳو ورجندڙ ڀاڱن ۾ ڪجهه ڏکيائي پيش اچي ٿي؛ ٻي صورت ۾ ڀاڱي کي سرڪائي صحیح عدد بڻايو وڃي ٿو، ان کي مٿي بيان ڪيل طريقي سان ڏھائي ۾ بدلايو وڃي ٿو، ۽ پوءِ ڏھائي واري بنياد ۾ 2 جي مناسب قوت سان ورهايو وڃي ٿو. مثال طور:

${\begin{aligned}x&=&1100&.1{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2^{6}&=&1100101110&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times 2&=&11001&.{\overline {01110}}\ldots \\x\times (2^{6}-2)&=&1100010101\\x&=&1100010101/111110\\x&=&(789/62)_{10}\end{aligned}}$

ٻٽي کان ڏھائي ۾ تبديل ڪرڻ جو هڪ ٻيو طريقو، جيڪو سورهنائي سرشتي کان واقف ماڻهوءَ لاءِ اڪثر وڌيڪ تيز هوندو آهي، اڻسڌي تبديلي آهي: پهرين $x$ کي ٻٽي مان سورهنائي ۾، ۽ پوءِ سورهنائي مان عشري ۾ بدلايو وڃي ٿو.

تمام وڏن عددن لاءِ اهي سادا طريقا ڪارائتا ناهن، ڇاڪاڻ⁠تہ انهن ۾ اهڙيون گهڻيون ضربون يا ونڊون ڪرڻيون پون ٿيون، جن ۾ هڪ عدد تمام وڏو هوندو آهي. ورهايو ۽ فتح ڪريو وارو سادو قاعدو وڏن عددن لاءِ وڌيڪ اثرائتو آهي. ڏنل ٻٽي عدد کي 10^k سان ورهايو وڃي ٿو، جتي k اهڙيءَ طرح چونڊيو وڃي ٿو، جو حاصل ونڊ ۽ باقي تقريباً برابر هجن. پوءِ ٻنهي حصن کي عشري ۾ تبديل ڪري پاڻ ۾ ڳنڍيو وڃي ٿو. اهڙيءَ طرح ڪنهن عشري عدد کي لڳ ڀڳ برابر ٻن حصن ۾ ورهايو وڃي ٿو؛ هر حصي کي ٻٽي ۾ بدلايو وڃي ٿو، پوءِ پهرين تبديل ٿيل حصي کي 10^k سان ضرب ڪري ٻئي حصي ۾ شامل ڪيو وڃي ٿو، جتي k تبديليءَ کان اڳ ٻئي، گهٽ اهم حصي ۾ موجود عشري عددن جو تعداد آهي.

سورهنائي

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو ھيڪساڊيسيمل عددي سرشتو

سانچو:Hexadecimal table

ٻٽي عددن کي سورهنائي (ھيڪساڊيسيمل) سرشتي ۾ ۽ سورهنائي مان ٻٽي ۾ آسانيءَ سان تبديل ڪري سگهجي ٿو. ان جو سبب اهو آهي ته سورهنائي (ھيڪساڊيسيمل) سرشتي جو بنياد 16، ٻٽي سرشتي جي بنياد 2 جي قوت آهي. خاص طور 16 = 2⁴، تنهنڪري سورهنائي جي هڪ عدد کي ظاهر ڪرڻ لاءِ ٻٽي جا چار عدد گهربل هوندا آهن، جيئن ڀر واري جدول ۾ ڏيکاريل آهي.

سورهنائي (ھيڪساڊيسيمل) عدد کي ان جي ٻٽي برابر ۾ بدلائڻ لاءِ هر سورهنائي عدد جي جاءِ تي ان جا لاڳاپيل ٻٽا عدد لکجن:

3A₁₆ = 0011 1010₂

E7₁₆ = 1110 0111₂

ٻٽي عدد کي سورهنائي (ھيڪساڊيسيمل) برابر ۾ بدلائڻ لاءِ ان کي چئن چئن بٽن جي ٽولن ۾ ورهايو وڃي. جيڪڏهن بٽن جو تعداد چئن جو پوروڻ نه هجي، ته کاٻي پاسي واڌو 0 بٽ وڌا وڃن، جنهن کي ڀرائي چيو وڃي ٿو. مثال طور:

1010010₂ = 0101 0010، ڀرائي سميت ٽولا = 52₁₆

11011101₂ = 1101 1101، ٽولا = DD₁₆

سورهنائي عدد کي عشري برابر ۾ بدلائڻ لاءِ هر سورهنائي عدد جي عشري برابر کي 16 جي لاڳاپيل قوت سان ضرب ڪري، حاصل ٿيل قدر پاڻ ۾ جمع ڪيا وڃن:

C0E7₁₆ = (12 × 16³) + (0 × 16²) + (14 × 16¹) + (7 × 16⁰) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 × 1) = 49,383₁₀

اٺائي

اصل مضمون جي لاءِ ڏسو اٺائي عددي سرشتو

ٻٽي عددن کي اٺائي سرشتي ۾ پڻ آسانيءَ سان تبديل ڪري سگهجي ٿو، ڇاڪاڻ⁠تہ اٺائي سرشتي جو بنياد 8 آهي، جيڪو ٻن جي قوت آهي، يعني 2³. تنهنڪري اٺائي جي هڪ عدد کي ظاهر ڪرڻ لاءِ بلڪل ٽي ٻٽا عدد گهربل هوندا آهن. اٺائي ۽ ٻٽي عددن جي وچ ۾ لاڳاپو مٿي ڏنل سورهنائي جدول جي پهرين اٺن عددن جهڙو آهي. ٻٽو 000 اٺائي عدد 0 جي برابر، ٻٽو 111 اٺائي عدد 7 جي برابر، ۽ اهڙيءَ طرح اڳتي آهي.

اٺائي	ٻٽو
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

اٺائي کان ٻٽي ۾ تبديلي ساڳئي طريقي سان ڪئي وڃي ٿي، جيئن سورهنائي کان ٻٽي ۾:

65₈ = 110 101₂

17₈ = 001 111₂

ٻٽي کان اٺائي ۾:

101100₂ = 101 100₂، ٽولا = 54₈

10011₂ = 010 011₂، ڀرائي سميت ٽولا = 23₈

۽ اٺائي کان عشري ۾:

65₈ = (6 × 8¹) + (5 × 8⁰) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53₁₀

127₈ = (1 × 8²) + (2 × 8¹) + (7 × 8⁰) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87₁₀

حقيقي عددن جي اظهار

صحیح عددن کان سواءِ ٻين عددن کي منفي قوتن جي مدد سان ظاهر ڪري سگهجي ٿو، جن کي ٻين عددن کان بنيادي نقطي ذريعي ڌار ڪيو ويندو آهي. عشري سرشتي ۾ هن نقطي کي ڏھائي نقطو چيو ويندو آهي. مثال طور، ٻٽو عدد 11.01₂ هن ريت آهي:

1 × 2¹	(1 × 2 = 2)	جمع
1 × 2⁰	(1 × 1 = 1)	جمع
0 × 2⁻¹	(0 × ¹⁄₂ = 0)	جمع
1 × 2⁻²	(1 × ¹⁄₄ = 0.25)

جنهن جو ڪل عشري قدر 3.25 ٿئي ٿو.

اهي سڀئي ٻه-قوتي ناطق ڪسر ${\frac {p}{2^{a}}}$ ، جن جو مخرج 2 جي ڪنهن قوت جي برابر هجي، ٻٽي سرشتي ۾ ختم ٿيندڙ صورت رکن ٿا؛ يعني بنيادي نقطي کان پوءِ عددن جو تعداد محدود هوندو آهي. جڏهن⁠تہ ٻيا ناطق عدد ٻٽي صورت ته رکن ٿا، پر ختم ٿيڻ بدران ورجائتا هوندا آهن، يعني عددن جو هڪ محدود سلسلو لامحدود ڀيرا ورجائبو رهندو آهي. مثال طور:

${\frac {1_{10}}{3_{10}}}={\frac {1_{2}}{11_{2}}}=0.01010101{\overline {01}}\ldots \,_{2}$

${\frac {12_{10}}{17_{10}}}={\frac {1100_{2}}{10001_{2}}}=0.10110100\,10110100{\overline {10110100}}\ldots \,_{2}$

اهو اصول، ته هر ناطق عدد جي ٻٽي صورت يا ته ختم ٿيندي آهي يا وري ورجائتي هوندي آهي، ٻين بنيادن وارن عددي سرشتن ۾ پڻ موجود آهي. مثال طور ڏھائي سرشتي ۾ به ساڳيو اصول لاڳو ٿئي ٿو. هڪ ٻي هڪجهڙائي اها آهي ته هر ختم ٿيندڙ صورت جي هڪ متبادل صورت به موجود هوندي آهي، ڇاڪاڻ⁠تہ 0.111111... هندسي سلسلي 2⁻¹ + 2⁻² + 2⁻³ + ... جي مجموعي جي برابر آهي، جنهن جو قدر 1 آهي.

اهي ٻٽا عدد، جيڪي نه ختم ٿين ٿا ۽ نه وري ڪنهن مقرر سلسلي سان ورجائجن ٿا، غير ناطق عدد ظاهر ڪن ٿا. مثال طور:

0.10100100010000100000100... ۾ هڪ نمونو موجود آهي، پر اهو مقرر ڊيگهه وارو ورجائتو نمونو ناهي؛ تنهنڪري هي هڪ غير ناطق عدد آهي.
1.0110101000001001111001100110011111110...، ${\sqrt {2}}$ يعني 2 جو چورس پاڙ جي ٻٽي صورت آهي، جيڪو پڻ هڪ غير ناطق عدد آهي. هن ۾ ڪو واضح ورجائتو نمونو موجود ناهي.

پڻ ڏسو

ذريعا

Landry, Timothy R. (2019). Vodún: Secrecy and the Search for Divine Power. Contemporary ethnography (1st ڇاپو). Philadelphia: University of Pennsylvania Press. ISBN 978-0-8122-5074-9.

حوالا

↑ "3.3. Binary and Its Advantages — CS160 Reader". computerscience.chemeketa.edu. 22 May 2024 تي حاصل ڪيل.
↑ سنڌي آنلائين ڊڪشنري آرڪائيو ڪيا ويا 2020-01-17 حوالو موجود آهي وي بيڪ مشين. پاران سنڌي لئنگئيج اٿارٽي، حيدرآباد
↑ "Why Did Thomas Harriot Invent Binary?". springer.com. 17 April 2026 تي حاصل ڪيل.
↑ "History of The Binary Number System". convertbinary.com. 17 April 2026 تي حاصل ڪيل.
↑ Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline, مرتب (2009), "Myth No. 2: the Horus eye fractions", The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford University Press, ص. 790, ISBN 9780199213122
↑ Chrisomalis, Stephen (2010), Numerical Notation: A Comparative History, Cambridge University Press, ص. 42–43, ISBN 9780521878180.
↑ Rudman, Peter Strom (2007), How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, Prometheus Books, ص. 135–136, ISBN 9781615921768.
1 2 Edward Hacker; Steve Moore; Lorraine Patsco (2002). I Ching: An Annotated Bibliography. Routledge. ص. 13. ISBN 978-0-415-93969-0.
1 2 Redmond, Geoffrey; Hon, Tze-Ki (2014). Teaching the I Ching. Oxford University Press. ص. 227. ISBN 978-0-19-976681-9.
1 2 Jonathan Shectman (2003). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century. Greenwood Publishing. ص. 29. ISBN 978-0-313-32015-6.
↑ Marshall, Steve. "Yijing hexagram sequences: The Shao Yong square (Fuxi sequence)". 2022-09-15 تي حاصل ڪيل. You could say [the Fuxi binary sequence] is a more sensible way of rendering hexagram as binary numbers .... The reasoning, if any, that informs [the King Wen] sequence is unknown.
↑ Zhonglian, Shi; Wenzhao, Li; Poser, Hans (2000). Leibniz' Binary System and Shao Yong's "Xiantian Tu" in :Das Neueste über China: G.W. Leibnizens Novissima Sinica von 1697 : Internationales Symposium, Berlin 4. bis 7. Oktober 1997. Stuttgart: Franz Steiner Verlag. ص. 165–170. ISBN 3515074481.
↑ Collins, Derek (2008). "Mapping the Entrails: The Practice of Greek Hepatoscopy". The American Journal of Philology 129 (3): 319–345. ISSN 0002-9475. https://www.jstor.org/stable/27566714.
↑ Johnston, Sarah Iles (2008). Ancient Greek divination. Blackwell ancient religions (1. publ ڇاپو). Malden, Mass.: Wiley-Blackwell. ISBN 978-1-4051-1573-5.
↑ Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, Florida: CRC Press. ص. 37. ISBN 978-0-8493-7189-9.
↑ W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
↑ Math for Poets and Drummers آرڪائيو ڪيا ويا 16 June 2012 حوالو موجود آهي وي بيڪ مشين. (pdf, 145KB)
↑ Stakhov, Alexey; Olsen, Scott Anthony (2009). The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science. World Scientific. ISBN 978-981-277-582-5.
↑ B. van Nooten, "Binary Numbers in Indian Antiquity", Journal of Indian Studies, Volume 21, 1993, pp. 31–50
↑ Landry 2019, p. 25.
↑ Landry 2019, p. 154.
↑ "Ifa Divination System". 5 July 2017 تي حاصل ڪيل.
↑ Bender, Andrea; Beller, Sieghard (16 December 2013). "Mangarevan invention of binary steps for easier calculation". Proceedings of the National Academy of Sciences 111 (4): 1322–1327. doi:10.1073/pnas.1309160110. PMID 24344278.
↑ Bowern, Claire; Zentz, Jason (2012). "Diversity in the Numeral Systems of Australian Languages". Anthropological Linguistics 54 (2): 133–160. ISSN 0003-5483. https://www.jstor.org/stable/23621076.
1 2 Bacon, Francis (1605). "The Advancement of Learning". London. ص. Chapter 1.
↑ Shirley, John W. (1951). "Binary numeration before Leibniz". American Journal of Physics 19 (8): 452–454. doi:10.1119/1.1933042. Bibcode: 1951AmJPh..19..452S.
↑ Ineichen, R. (2008). "Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem" (de ۾). Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung 16 (1): 12–15. doi:10.1515/dmvm-2008-0009. http://page.math.tu-berlin.de/~mdmv/archive/16/mdmv-16-1-12-ineichen.pdf. Retrieved 15 October 2017. آرڪائيو ڪيا ويا 28 December 2021 حوالو موجود آهي وي بيڪ مشين.
1 2 3 Strickland, Lloyd (2020), "Leibniz on Number Systems", ۾ Sriraman, Bharath (مرتب), Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice (انگريزي ۾), Cham: Springer International Publishing, ص. 1–31, doi:10.1007/978-3-030-19071-2_90-1, ISBN 978-3-030-19071-2, 2024-08-20 تي حاصل ڪيل
1 2 Leibniz G., Explication de l'Arithmétique Binaire, Die Mathematische Schriften, ed. C. Gerhardt, Berlin 1879, vol.7, p.223; Engl. transl.
↑ "Bouvet and Leibniz: A Scholarly Correspondence", Swiderski 1980
↑ لائپنيٽز: "چينين شايد هڪ هزار ورهيه کان به اڳ فو شي جي ڪووا يا ليڪائي نشانين جي معنيٰ وساري ڇڏي هئي. هنن ان موضوع تي اهڙيون شرحون لکيون، جن ۾ مون کي خبر ناهي ته ڪهڙيون پري جون معنائون ڳولڻ جي ڪوشش ڪئي وئي، تنهنڪري انهن نشانين جي سچي وضاحت هاڻي يورپين وٽان اچڻي هئي. اهو هن ريت ٿيو: رڳو ٻه سال کن اڳ مون پيڪنگ ۾ رهندڙ نامياري فرانسيسي يسوعي پادري، معزز فادر بووي،³ ڏانهن 0 ۽ 1 وسيلي ڳڻپ ڪرڻ جو پنهنجو طريقو موڪليو. کيس رڳو ايترو ڏسڻ جي دير هئي ته هن سڃاڻي ورتو ته اهو ئي فو شي جي شڪلين جي ڪنجي آهي. 14 نومبر 1701ع تي مون ڏانهن لکيل خط ۾ هن مون کي ان فلسفي شهزادي جي وڏي شڪل موڪلي، جيڪا 64 تائين پهچي ٿي، ۽ ان کان پوءِ اسان جي تشريح جي درست هجڻ بابت ڪنهن به شڪ جي گنجائش نه رهي. ايتري قدر جو چئي سگهجي ٿو ته هن پادريءَ، مون پاران کيس ڏنل ڄاڻ جي مدد سان، فو شي جي ڳجهارت کي سلجهائي ڇڏيو. ۽ جيئن اهي شڪليون شايد دنيا ۾ موجود سائنس جي سڀ کان آڳاٽي يادگار آهن، [GM VII، ص 227] تنهنڪري ايتري ڊگهي عرصي کان پوءِ انهن جي معنيٰ جي هيءَ بحالي اڃا وڌيڪ حيرت انگيز لڳندي."
↑ Aiton, Eric J. (1985). Leibniz: A Biography. Taylor & Francis. ص. 245–8. ISBN 0-85274-470-6.
1 2 J.E.H. Smith (2008). Leibniz: What Kind of Rationalist?: What Kind of Rationalist?. Springer. ص. 415. ISBN 978-1-4020-8668-7.
↑ Yuen-Ting Lai (1998). Leibniz, Mysticism and Religion. Springer. ص. 149–150. ISBN 978-0-7923-5223-5.
↑ Boole, George (2009) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (Macmillan, Dover Publications, reprinted with corrections [1958] ڇاپو). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-00153-3.
↑ Shannon, Claude Elwood (1940). A symbolic analysis of relay and switching circuits (Thesis). Cambridge: Massachusetts Institute of Technology. hdl:1721.1/11173.
↑ "National Inventors Hall of Fame – George R. Stibitz". 20 August 2008. اصل نسخو مان 9 July 2010 تي محفوظ ڪيل. 5 July 2010 تي حاصل ڪيل.
↑ "George Stibitz : Bio". Math & Computer Science Department, Denison University. 30 April 2004. 5 July 2010 تي حاصل ڪيل.
↑ "Pioneers – The people and ideas that made a difference – George Stibitz (1904–1995)". Kerry Redshaw. 20 February 2006. 5 July 2010 تي حاصل ڪيل.
↑ "George Robert Stibitz – Obituary". Computer History Association of California. 6 February 1995. 5 July 2010 تي حاصل ڪيل.
↑ "Konrad Zuse's Legacy: The Architecture of the Z1 and Z3". آئي ٽرپل اي ڪمپيوٽنگ جي تاريخ جا ساليانا 19 (2): 5–16. April–June 1997. doi:10.1109/85.586067. http://ed-thelen.org/comp-hist/Zuse_Z1_and_Z3.pdf. Retrieved 2022-07-03. (12 صفحا)
↑ "Base System". اصل نسخي مان 23 October 2017 تي محفوظ ڪيل. 31 August 2016 تي حاصل ڪيل.

ٻاهريان ڳنڍڻا

Wikibooks has a book on the topic of

Fractals/Mathematics/binary

وڪيميڊيا العام ۾ سان لاڳاپيل ميڊيا Binary numeral system.

Binary System تي ڪٽ-دي-ناٽ
Conversion of Fractions تي ڪٽ-دي-ناٽ
سر فرانسس بيڪن جو BiLiteral Cypher سرشتو آرڪائيو ڪيا ويا 23 September 2016 حوالو موجود آهي وي بيڪ مشين.، جيڪو ٻٽي عددي سرشتي کان اڳ جو آهي.
An analysis of binary as an efficient base

[1] "3.3. Binary and Its Advantages — CS160 Reader". computerscience.chemeketa.edu. 22 May 2024 تي حاصل ڪيل.

[2] سنڌي آنلائين ڊڪشنري آرڪائيو ڪيا ويا 2020-01-17 حوالو موجود آهي وي بيڪ مشين. پاران سنڌي لئنگئيج اٿارٽي، حيدرآباد

[3] "Why Did Thomas Harriot Invent Binary?". springer.com. 17 April 2026 تي حاصل ڪيل.

[4] "History of The Binary Number System". convertbinary.com. 17 April 2026 تي حاصل ڪيل.

[5] Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline, مرتب (2009), "Myth No. 2: the Horus eye fractions", The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford University Press, ص. 790, ISBN 9780199213122

[6] Chrisomalis, Stephen (2010), Numerical Notation: A Comparative History, Cambridge University Press, ص. 42–43, ISBN 9780521878180.

[7] Rudman, Peter Strom (2007), How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, Prometheus Books, ص. 135–136, ISBN 9781615921768.

[HackerMoore2002-8] 1 2 Edward Hacker; Steve Moore; Lorraine Patsco (2002). I Ching: An Annotated Bibliography. Routledge. ص. 13. ISBN 978-0-415-93969-0.

[redmond-hon-9] 1 2 Redmond, Geoffrey; Hon, Tze-Ki (2014). Teaching the I Ching. Oxford University Press. ص. 227. ISBN 978-0-19-976681-9.

[scientific-10] 1 2 Jonathan Shectman (2003). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century. Greenwood Publishing. ص. 29. ISBN 978-0-313-32015-6.

[Marshall-11] Marshall, Steve. "Yijing hexagram sequences: The Shao Yong square (Fuxi sequence)". 2022-09-15 تي حاصل ڪيل. You could say [the Fuxi binary sequence] is a more sensible way of rendering hexagram as binary numbers .... The reasoning, if any, that informs [the King Wen] sequence is unknown.

[Shao_Yong’s_”Xiantian_Tu'‘-12] Zhonglian, Shi; Wenzhao, Li; Poser, Hans (2000). Leibniz' Binary System and Shao Yong's "Xiantian Tu" in :Das Neueste über China: G.W. Leibnizens Novissima Sinica von 1697 : Internationales Symposium, Berlin 4. bis 7. Oktober 1997. Stuttgart: Franz Steiner Verlag. ص. 165–170. ISBN 3515074481.

[13] Collins, Derek (2008). "Mapping the Entrails: The Practice of Greek Hepatoscopy". The American Journal of Philology 129 (3): 319–345. ISSN 0002-9475. https://www.jstor.org/stable/27566714.

[14] Johnston, Sarah Iles (2008). Ancient Greek divination. Blackwell ancient religions (1. publ ڇاپو). Malden, Mass.: Wiley-Blackwell. ISBN 978-1-4051-1573-5.

[15] Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, Florida: CRC Press. ص. 37. ISBN 978-0-8493-7189-9.

[16] W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X

[17] Math for Poets and Drummers آرڪائيو ڪيا ويا 16 June 2012 حوالو موجود آهي وي بيڪ مشين. (pdf, 145KB)

[18] Stakhov, Alexey; Olsen, Scott Anthony (2009). The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science. World Scientific. ISBN 978-981-277-582-5.

[19] B. van Nooten, "Binary Numbers in Indian Antiquity", Journal of Indian Studies, Volume 21, 1993, pp. 31–50

[FOOTNOTELandry201925-20] Landry 2019, p. 25.

[FOOTNOTELandry2019154-21] Landry 2019, p. 154.

[22] "Ifa Divination System". 5 July 2017 تي حاصل ڪيل.

[23] Bender, Andrea; Beller, Sieghard (16 December 2013). "Mangarevan invention of binary steps for easier calculation". Proceedings of the National Academy of Sciences 111 (4): 1322–1327. doi:10.1073/pnas.1309160110. PMID 24344278.

[24] Bowern, Claire; Zentz, Jason (2012). "Diversity in the Numeral Systems of Australian Languages". Anthropological Linguistics 54 (2): 133–160. ISSN 0003-5483. https://www.jstor.org/stable/23621076.

[Bacon1605-25] 1 2 Bacon, Francis (1605). "The Advancement of Learning". London. ص. Chapter 1.

[26] Shirley, John W. (1951). "Binary numeration before Leibniz". American Journal of Physics 19 (8): 452–454. doi:10.1119/1.1933042. Bibcode: 1951AmJPh..19..452S.

[27] Ineichen, R. (2008). "Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem" (de ۾). Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung 16 (1): 12–15. doi:10.1515/dmvm-2008-0009. http://page.math.tu-berlin.de/~mdmv/archive/16/mdmv-16-1-12-ineichen.pdf. Retrieved 15 October 2017. آرڪائيو ڪيا ويا 28 December 2021 حوالو موجود آهي وي بيڪ مشين.

[:0-28] 1 2 3 Strickland, Lloyd (2020), "Leibniz on Number Systems", ۾ Sriraman, Bharath (مرتب), Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice (انگريزي ۾), Cham: Springer International Publishing, ص. 1–31, doi:10.1007/978-3-030-19071-2_90-1, ISBN 978-3-030-19071-2, 2024-08-20 تي حاصل ڪيل

[lnz-29] 1 2 Leibniz G., Explication de l'Arithmétique Binaire, Die Mathematische Schriften, ed. C. Gerhardt, Berlin 1879, vol.7, p.223; Engl. transl.

[30] "Bouvet and Leibniz: A Scholarly Correspondence", Swiderski 1980

[31] لائپنيٽز: "چينين شايد هڪ هزار ورهيه کان به اڳ فو شي جي ڪووا يا ليڪائي نشانين جي معنيٰ وساري ڇڏي هئي. هنن ان موضوع تي اهڙيون شرحون لکيون، جن ۾ مون کي خبر ناهي ته ڪهڙيون پري جون معنائون ڳولڻ جي ڪوشش ڪئي وئي، تنهنڪري انهن نشانين جي سچي وضاحت هاڻي يورپين وٽان اچڻي هئي. اهو هن ريت ٿيو: رڳو ٻه سال کن اڳ مون پيڪنگ ۾ رهندڙ نامياري فرانسيسي يسوعي پادري، معزز فادر بووي،³ ڏانهن 0 ۽ 1 وسيلي ڳڻپ ڪرڻ جو پنهنجو طريقو موڪليو. کيس رڳو ايترو ڏسڻ جي دير هئي ته هن سڃاڻي ورتو ته اهو ئي فو شي جي شڪلين جي ڪنجي آهي. 14 نومبر 1701ع تي مون ڏانهن لکيل خط ۾ هن مون کي ان فلسفي شهزادي جي وڏي شڪل موڪلي، جيڪا 64 تائين پهچي ٿي، ۽ ان کان پوءِ اسان جي تشريح جي درست هجڻ بابت ڪنهن به شڪ جي گنجائش نه رهي. ايتري قدر جو چئي سگهجي ٿو ته هن پادريءَ، مون پاران کيس ڏنل ڄاڻ جي مدد سان، فو شي جي ڳجهارت کي سلجهائي ڇڏيو. ۽ جيئن اهي شڪليون شايد دنيا ۾ موجود سائنس جي سڀ کان آڳاٽي يادگار آهن، [GM VII، ص 227] تنهنڪري ايتري ڊگهي عرصي کان پوءِ انهن جي معنيٰ جي هيءَ بحالي اڃا وڌيڪ حيرت انگيز لڳندي."

[32] Aiton, Eric J. (1985). Leibniz: A Biography. Taylor & Francis. ص. 245–8. ISBN 0-85274-470-6.

[smith-33] 1 2 J.E.H. Smith (2008). Leibniz: What Kind of Rationalist?: What Kind of Rationalist?. Springer. ص. 415. ISBN 978-1-4020-8668-7.

[lniz-34] Yuen-Ting Lai (1998). Leibniz, Mysticism and Religion. Springer. ص. 149–150. ISBN 978-0-7923-5223-5.

[35] Boole, George (2009) [1854]. An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (Macmillan, Dover Publications, reprinted with corrections [1958] ڇاپو). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-00153-3.

[36] Shannon, Claude Elwood (1940). A symbolic analysis of relay and switching circuits (Thesis). Cambridge: Massachusetts Institute of Technology. hdl:1721.1/11173.

[37] "National Inventors Hall of Fame – George R. Stibitz". 20 August 2008. اصل نسخو مان 9 July 2010 تي محفوظ ڪيل. 5 July 2010 تي حاصل ڪيل.

[38] "George Stibitz : Bio". Math & Computer Science Department, Denison University. 30 April 2004. 5 July 2010 تي حاصل ڪيل.

[39] "Pioneers – The people and ideas that made a difference – George Stibitz (1904–1995)". Kerry Redshaw. 20 February 2006. 5 July 2010 تي حاصل ڪيل.

[40] "George Robert Stibitz – Obituary". Computer History Association of California. 6 February 1995. 5 July 2010 تي حاصل ڪيل.

[zuse-41] "Konrad Zuse's Legacy: The Architecture of the Z1 and Z3". آئي ٽرپل اي ڪمپيوٽنگ جي تاريخ جا ساليانا 19 (2): 5–16. April–June 1997. doi:10.1109/85.586067. http://ed-thelen.org/comp-hist/Zuse_Z1_and_Z3.pdf. Retrieved 2022-07-03. (12 صفحا)

[42] "Base System". اصل نسخي مان 23 October 2017 تي محفوظ ڪيل. 31 August 2016 تي حاصل ڪيل.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]