منجهيل عدد

منجهيل عدد (Complex number) انگن جي اهڙي نظام جو حصو آهن جيڪي حقيقي عددن (Real numbers) کي وڌائي انهن ۾ هڪ خاص عنصر شامل ڪن ٿا، جنهن کي تخيلي يونٽ (Imaginary unit) چيو ويندو آهي ۽ ان کي علامت i سان ظاهر ڪبو آهي.

بنيادي تعريف

منجهيل عددن جي تعريف هن بنيادي اصول ذريعي ڪئي ويندي آهي: i^2 = -1

ڇاڪاڻ ته ڪنهن به حقيقي عدد جو چورس (Square) ڪاٽو (-) نه ٿو ٿي سگهي، ان ڪري ريني ڊيڪارٽ (René Descartes) ان کي "تخيلي عدد" جو نالو ڏنو. هر منجهيل عدد کي هيٺين صورت ۾ لکي سگهجي ٿو: a + bi

هتي a ۽ b حقيقي عدد آهن. a کي حقيقي حصو (Real part) ۽ b کي تخيلي حصو (Imaginary part) چيو ويندو آهي. منجهيل عددن جي سيٽ کي علامت C سان ظاهر ڪيو ويندو آهي.

الجبرا جو بنيادي نظريو

منجهيل عددن جي مدد سان انهن تمام پولينوميل مساواتن (Polynomial equations) جو حل ملي سگهي ٿو جن جو حل حقيقي عددن ۾ موجود ناهي. مثال طور، مساوات (x + 1)^2 = -9 جو ڪو به حقيقي حل ناهي، پر ان جا ٻه منجهيل حل هي آهن:

-1 + 3i
-1 - 3i

هندسي تشريح (Geometric Interpretation)

منجهيل عددن کي هڪ ٻه-پاسائين (2D) سطح تي ظاهر ڪري سگهجي ٿو، جنهن کي ڪمپليڪس پلين (Complex plane) چيو ويندو آهي:

حقيقي محور (Real axis): افقي لڪير جيڪا حقيقي عددن کي ظاهر ڪري ٿي.
تخيلي محور (Imaginary axis): عمودي لڪير جيڪا تخيلي عددن (i جي ضربن) کي ظاهر ڪري ٿي.

ڪنهن منجهيل عدد کي ان جي قطبي مختصات (Polar coordinates) ذريعي به بيان ڪري سگهجي ٿو:

ايسوليوٽ ويلييو (Absolute value): اصل نقطي (Origin) کان فاصلي کي چيو ويندو آهي، جنهن کي |z| سان ظاهر ڪبو آهي.
آرگيومينٽ (Argument): حقيقي محور کان بڻجندڙ زاويه (Angle).

منجهيل ڪونجوگيٽ (Complex Conjugate)

جيڪڏهن ڪو عدد z = a + bi آهي، ته ان جو ڪونجوگيٽ z' = a - bi هوندو. هندسي طور تي، هي حقيقي محور جي چوڌاري هڪ عڪس (Reflection) وانگر هوندو آهي.

وڌيڪ ڏسو

حوالا